Matriz ortogonal

 Nota: Para matrizes complexas ortogonais, veja Matriz unitária.

Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.[1][2][3]

Isto é, uma matriz ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ é ortogonal se ${\displaystyle M^{-1}=M^{T}}$

Definição

Uma matriz ${\displaystyle M\in R^{n\times n}}$ é dita ortogonal se:

• ortogonal se for invertível, isto é: ${\displaystyle det(M)\neq 0}$[4]; (necessário, mas não é suficiente)
• ortogonal se somente se sua matriz inversa ${\displaystyle M^{-1}}$ coincide com sua matriz transposta ${\displaystyle M^{T}}$, isto é: ${\displaystyle M^{-1}=M^{T}}$[5] (necessário e suficiente)

Exemplos

• Matriz identidade:

${\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{n\times n}}$;

• Matriz de rotação (anti-horário)

${\displaystyle R_{\theta }={\begin{bmatrix}\cos \,\theta &{\text{-sen}}\,\theta \\{\text{sen}}\,\theta &\cos \,\theta \end{bmatrix}}}$

• Matriz de reflexão em torno do eixo ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle R_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Propriedades

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:[1]

• Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz ortogonal, então ${\displaystyle \det(A)=\pm 1}$.[demonstração 1]

• A matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.[demonstração 2]

• A matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.[demonstração 3]

1. A matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonal se, e somente se, sua transposta ${\displaystyle A^{T}}$ também é.[demonstração 4]

• Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz ortogonal, então ${\displaystyle cA}$ é ortogonal se, e somente se, ${\displaystyle c=\pm 1}$.[demonstração 5]

Ver também

• Matriz ortogonalmente diagonalizável

Referências

1. (Kolman 2013)
2. Strang 2010.
3. Lay 2013.
4. Santos 2013, p. 115.
5. Santos 2013, p. 324.

Bibliografia

• Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
• Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
• Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093 
• Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185 

Demonstrações

1. Da definição, tem-se que: ${\displaystyle A^{T}\cdot A^{-1}=I_{n}}$, então ${\displaystyle det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(I_{n})=1}$. Pelo Teorema de Binet, ${\displaystyle det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(A^{T})\cdot det(A^{-1})}$, então ${\displaystyle det(A^{T}\cdot A^{-1})=det(A^{T})\cdot det(A^{-1})=1}$.
   No entanto, sabe-se também da definição que ${\displaystyle A^{T}=A^{-1}}$ implica ${\displaystyle \det(A^{T})=\det(A^{-1})}$.
   Logo, ${\displaystyle det(A^{T})\cdot det(A^{-1})={\bigl (}det(A){\bigr )}^{2}=1}$, de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se ${\displaystyle \det(A)=\pm 1}$.
2. Seja ${\displaystyle A=[\mathbf {a} _{1}~\mathbf {a} _{2}~\ldots ~\mathbf {a} _{n}]}$ uma matriz ortogonal, onde ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ indica a i-ésima coluna de ${\displaystyle A}$. Como ${\displaystyle A^{T}=A^{-1}}$, temos ${\displaystyle A^{T}A=I_{n}}$, donde vemos que:

   ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=\left\{{\begin{array}{ll}1&,~i=j\\0&,~i\neq j\end{array}}\right.}$

   isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna ${\displaystyle \{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\}}$ é um conjunto ortonormal.
   Reciprocamente, se as colunas de ${\displaystyle A}$ formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que ${\displaystyle A^{T}A=I_{n}}$.
3. Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
4. Segue imediatamente da observação de que:

   ${\displaystyle A^{T}=A^{-1}\Leftrightarrow (A^{T})^{T}=(A^{-1})^{T}\Leftrightarrow A=(A^{T})^{-1}}$.

5. Por hipótese, ${\displaystyle A^{T}=A^{-1}}$. Com isso, temos:

   ${\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}=cA^{-1}}$.

   Agora, ${\displaystyle cA^{-1}=(cA)^{-1}}$ se, e somente se, ${\displaystyle c=\pm 1}$. Isso completa a demonstração.