Prime k-tuple

Prime k-tupleとは、p_nをn番目の素数とすると、p_n+k−1 − p_nが最小になるk個の素数の組のことをいう。

名前付きパターン

最短のk-tupleのいくつかは、他の一般名で知られている。

(0, 2)	双子素数
(0, 4)	いとこ素数
(0, 6)	セクシー素数
(0, 2, 6), (0, 4, 6)	三つ子素数
(0, 6, 12)	セクシー素数の三つ組
(0, 2, 6, 8)	四つ子素数
(0, 6, 12, 18)	セクシー素数の四つ組
(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12)	五つ子素数
(0, 4, 6, 10, 12, 16)	六つ子素数

許容性

k-tupleがそのすべての値が素数である無限に多くの位置を持つために、tupleがpを法とするすべての異なる可能な値を含むような素数pが存在することはできない。なぜなら、そのような素数pが存在する場合、nのどの値が選択されても、tupleにnを追加することによって形成される値の1つはpで割り切れるので、素数の配置は有限にしか存在できない (pを含むもののみ)。たとえば、k-tupleは、3を法とする0、1、および2の3つの値すべてを取ることはできない。そうしないと、結果の数値には常に3の倍数が含まれるため、数値の1つが3自体でない限り、すべてが素数になることはない。この条件を満たすk-tuple (つまり、 pを法とするすべての異なる値をカバーするpがない)は、許容可能と呼ばれる。

例えば、(n, n + 1) のうち1つは2の倍数なので、許容可能なPrime 2-tuple (双子素数)は、(p, p + 2)である。
(n, n + 2, n + 4) のうち1つは3の倍数なので、許容可能なPrime 3-tuple (三つ子素数)は、(p, p + 2, p + 6), (p, p + 4, p + 6)である。

すべての許容可能なPrime k-tupleは、無数に存在するだろうと予想されている。ただし、Prime 1-tupleを除いて、これが証明されている許容可能なPrime k-tupleはない。

最小のPrime k-tuple

最初のいくつかのPrime k-tupleは次のとおりである。dは、p_nをn番目の素数とすると、d = p_n+k−1 − p_nで、許容可能であるものとする。

k	d	Prime k-tupleのパターン	最小の組
2	2	(0, 2)	(3, 5)
3	6	(0, 2, 6) (0, 4, 6)	(5, 7, 11) (7, 11, 13)
4	8	(0, 2, 6, 8)	(5, 7, 11, 13)
5	12	(0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12)	(5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19)
6	16	(0, 4, 6, 10, 12, 16)	(7, 11, 13, 17, 19, 23)
7	20	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
8	26	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
9	30	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)

kの関数としてのdは、オンライン整数列大辞典の数列 A008407である。

等差数列の素数

(0, n, 2n, 3n, …, (k − 1)n) の形式のPrime k-tupleは、素数等差数列と呼ばれる。そのようなPrime k-tupleが許容性を満たすためには、nはkの素数階乗の倍数でなければならない。

Prime k-tupleの例

nを0以上の整数とする。

• (3, 5) を除く全ての双子素数 (Prime 2-tuple)は (6n + 5, 6n + 7) の形である。
  • また、(3, 5), (5, 7) を除く全ての双子素数は
    (30n + 11, 30n + 13),
    (30n + 17, 30n + 19),
    (30n + 29, 30n + 31)
    の形である。
• (5, 7, 11, 13) を除く全ての四つ子素数 (Prime 4-tuple)は (30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19) の形である。
  • また、(5, 7, 11, 13) を除く全ての四つ子素数は
    (210n + 11, 210n + 13, 210n + 17, 210n + 19),
    (210n + 101, 210n + 103, 210n + 107, 210n + 109),
    (210n + 191, 210n + 193, 210n + 197, 210n + 199)
    の形である。
• (7, 11, 13, 17, 19, 23) を除く全ての六つ子素数 (Prime 6-tuple)は
  (210n + 97, 210n + 101, 210n + 103, 210n + 107, 210n + 109, 210n + 113) の形である。
  • また、(7, 11, 13, 17, 19, 23) を除く全ての六つ子素数は
    (2310n + 97, 2310n + 101, 2310n + 103, 2310n + 107, 2310n + 109, 2310n + 113),
    (2310n + 937, 2310n + 941, 2310n + 943, 2310n + 947, 2310n + 949, 2310n + 953),
    (2310n + 1147, 2310n + 1151, 2310n + 1153, 2310n + 1157, 2310n + 1159, 2310n + 1163),
    (2310n + 1357, 2310n + 1361, 2310n + 1363, 2310n + 1367, 2310n + 1369, 2310n + 1373),
    (2310n + 2197, 2310n + 2201, 2310n + 2203, 2310n + 2207, 2310n + 2209, 2310n + 2213)
    の形である。

関連項目

• 双子素数
• 三つ子素数
• 四つ子素数
• いとこ素数
• セクシー素数