素数の間隔
16億までの素数の間隔の度数分布 。ピークは6の倍数で生じている[ 1] 。
素数の間隔 (そすうのかんかく、prime gap)は、連続する2つの素数 の差。gn もしくは g (pn ) で表される n 番目の素数の間隔は、n + 1 番目の素数と n 番目の素数の差である。すなわち
g
n
=
p
n
+
1
− − -->
p
n
{\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}
g 1 = 1, g 2 = g 3 = 2, g 4 = 4 である。素数の間隔の列 は広く研究されてきたが、多くの疑問や仮説が残っている。
初めから60個の素数の間隔は
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, …[ 2]
gn の定義により、全ての素数は次のように書ける。
p
n
+
1
=
2
+
∑ ∑ -->
i
=
1
n
g
i
{\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}}
簡単な観察
最初の間隔は1 (=3-2) であり、2を除く素数がすべて奇数 であることから、1は唯一かつ最小の間隔である。以降の間隔はすべて2以上の偶数となるが、値 2 の間隔が連続しているのは素数 3, 5, 7 の間の間隔である g 2 と g 3 の1組だけである。
任意の整数 n に対して、n の階乗 (n を含む n までの全ての正の整数の積 )を用いると、数列
n
!
+
2
,
n
!
+
3
,
n
!
+
4
,
… … -->
,
n
!
+
n
{\displaystyle n!+2,n!+3,n!+4,\ldots ,n!+n}
において1番目の項は2で割り切れ、2番目の項は3で割り切れ、これが続く。よって、これはn − 1 個の連続した合成数 の数列であり、長さがn以上の間隔を与える隣り合う素数の間の連続した整数の列(の全体あるいは一部)になる。このことから隣り合う素数の間隔にはいくらでも大きいものが常に存在すること、すなわち、任意に与えた整数Nに対して gm ≥ N となる添字mが常に存在することが分かる。
しかし、n個の数の素数の間隔は、n!よりもずっと小さい数で生じることがある。例えば、素数の間隔が14よりも大きい最初の場所は523と541の間であるが、その一方で15!は1 307 674 368 000という非常に大きな数である。
素数の平均間隔は整数の自然対数 が大きくなるにつれて長くなり、したがって関係する整数と、これに対する素数の間隔との比は小さくなる(漸近的に0になる)。これは素数定理 の結果であるヒューリスティック な観点から見ると、自然対数に対する間隔の長さの比が固定の正数k 以上である確率はe −k であると予想される。結果として比は任意に大きくなる。実際、整数の桁数に対する間隔の比は際限なく増加する。これはエリック・ウェストジンティウス による結果の帰結である[ 3] 。
逆に、双子素数 の推論は、無限に多い整数nに対してg n = 2 を仮定している。
数値結果
通常g n / ln (p n )の値のことを、間隔g n のmerit値 という。2017年9月現在、分かっている確率的素数 の間隔の端の、最大の既知の素数の間隔は長さ6 582 144で、マーティン・ラーブ により発見された216,841桁の確率的素数においてであった[ 4] 。この間隔のmerit値は13.1829である。最大の既知の素数の間隔は長さ1 113 106であり、merit値は25.90であり、ピエール・カミ 、ミシェル・ヤンセン 、イェンス・K・アンデルセン により発見された18,662桁の素数においてである[ 5] [ 6] 。
2017年12月現在、知られている中で最大のmerit値で、かつ最初に40を超えるものは、41.938 783 73であり、87桁の素数293 703 234 068 022 590 158 723 766 104 419 463 425 709 075 574 811 762 098 588 798 217 895 728 858 676 728 143 227においてであった。この素数と次の素数の間の素数の間隔は8350である[ 7] 。
最も大きいmerit値 (2018年1月現在)[ 7] [ 8] [ 9]
Merit
gn
桁数
pn
年
発見者
41.938 784
8350
87
上参照
2017
Gapcoin
39.620 154
15900
175
3 483 347 771 × 409# /30 − 7016
2017
Dana Jacobsen
38.066 960
18306
209
650 094 367 × 491#/2310 − 8936
2017
Dana Jacobsen
37.824 126
8382
97
512 950 801 × 229#/5610 − 4138
2018
Dana Jacobsen
37.005 294
26054
306
1 780 005 161 × 719#/30 − 17768
2017
Dana Jacobsen
g n / (ln(p n ))2 の値のことをクラメル・シャンクス・グランヴィル比という[ 7] 。素数2, 3, 7 の場合の異常に高い値を無視する場合、この値の知られている最大値は素数1 693 182 318 746 371のときの0.920 638 6である[ 10] 。
全てのm < n に対してg m < g n の場合、g n のことを、極大の間隔 (maximal gap )、または「極大の素数の間隔」という。2018年8月 (2018-08 ) 現在[update] 、知られている最大の極大の間隔は1550であり、バーティル・ニーマン により発見された。これは80番目の極大の間隔であり、素数18 361 375 334 787 046 697の後に生じる[ 11] [ 12] 。
80個の既知の極大の素数の間隔
1から27
#
gn
pn
n
1
1
2
1
2
2
3
2
3
4
7
4
4
6
23
9
5
8
89
24
6
14
113
30
7
18
523
99
8
20
887
154
9
22
1,129
189
10
34
1,327
217
11
36
9,551
1,183
12
44
15,683
1,831
13
52
19,609
2,225
14
72
31,397
3,385
15
86
155,921
14,357
16
96
360,653
30,802
17
112
370,261
31,545
18
114
492,113
40,933
19
118
1,349,533
103,520
20
132
1,357,201
104,071
21
148
2,010,733
149,689
22
154
4,652,353
325,852
23
180
17,051,707
1,094,421
24
210
20,831,323
1,319,945
25
220
47,326,693
2,850,174
26
222
122,164,747
6,957,876
27
234
189,695,659
10,539,432
28から54
#
gn
pn
n
28
248
191,912,783
10,655,462
29
250
387,096,133
20,684,332
30
282
436,273,009
23,163,298
31
288
1,294,268,491
64,955,634
32
292
1,453,168,141
72,507,380
33
320
2,300,942,549
112,228,683
34
336
3,842,610,773
182,837,804
35
354
4,302,407,359
203,615,628
36
382
10,726,904,659
486,570,087
37
384
20,678,048,297
910,774,004
38
394
22,367,084,959
981,765,347
39
456
25,056,082,087
1,094,330,259
40
464
42,652,618,343
1,820,471,368
41
468
127,976,334,671
5,217,031,687
42
474
182,226,896,239
7,322,882,472
43
486
241,160,624,143
9,583,057,667
44
490
297,501,075,799
11,723,859,927
45
500
303,371,455,241
11,945,986,786
46
514
304,599,508,537
11,992,433,550
47
516
416,608,695,821
16,202,238,656
48
532
461,690,510,011
17,883,926,781
49
534
614,487,453,523
23,541,455,083
50
540
738,832,927,927
28,106,444,830
51
582
1,346,294,310,749
50,070,452,577
52
588
1,408,695,493,609
52,302,956,123
53
602
1,968,188,556,461
72,178,455,400
54
652
2,614,941,710,599
94,906,079,600
55から80
#
gn
pn
n
55
674
7,177,162,611,713
251,265,078,335
56
716
13,829,048,559,701
473,258,870,471
57
766
19,581,334,192,423
662,221,289,043
58
778
42,842,283,925,351
1,411,461,642,343
59
804
90,874,329,411,493
2,921,439,731,020
60
806
171,231,342,420,521
5,394,763,455,325
61
906
218,209,405,436,543
6,822,667,965,940
62
916
1,189,459,969,825,483
35,315,870,460,455
63
924
1,686,994,940,955,803
49,573,167,413,483
64
1,132
1,693,182,318,746,371
49,749,629,143,526
65
1,184
43,841,547,845,541,059
1,175,661,926,421,598
66
1,198
55,350,776,431,903,243
1,475,067,052,906,945
67
1,220
80,873,624,627,234,849
2,133,658,100,875,638
68
1,224
203,986,478,517,455,989
5,253,374,014,230,870
69
1,248
218,034,721,194,214,273
5,605,544,222,945,291
70
1,272
305,405,826,521,087,869
7,784,313,111,002,702
71
1,328
352,521,223,451,364,323
8,952,449,214,971,382
72
1,356
401,429,925,999,153,707
10,160,960,128,667,332
73
1,370
418,032,645,936,712,127
10,570,355,884,548,334
74
1,442
804,212,830,686,677,669
20,004,097,201,301,079
75
1,476
1,425,172,824,437,699,411
34,952,141,021,660,495
76
1,488
5,733,241,593,241,196,731
135,962,332,505,694,894
77
1,510
6,787,988,999,657,777,797
160,332,893,561,542,066
78
1,526
15,570,628,755,536,096,243
360,701,908,268,316,580
79
1,530
17,678,654,157,568,189,057
408,333,670,434,942,092
80
1,550
18,361,375,334,787,046,697
423,731,791,997,205,041
さらなる結果
上限
1852年に証明されたベルトランの仮説 は、k と2k の間には必ず素数があり、よって特にp n +1 < 2p n であることは、g n < p n を意味するという内容である。
1896年に証明された素数定理 は、十分大きい素数では素数pと次の素数との間の間隔の平均長は漸近的にln(p )に近づくという内容である。実際の間隔の長さはこれよりもずっと大きいことや小さいことがあるが、素数定理から素数の間隔の長さの上限を推論することができる。
すべての
ϵ ϵ -->
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
に対して、すべての
n
>
N
{\displaystyle n>N}
で
g
n
<
p
n
ϵ ϵ -->
{\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }
であるような数
N
{\displaystyle N}
がある。
また、素数に比例して間隔が任意に小さくなることも推論できる。比
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
g
n
p
n
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}
となる。
グイド・ホハイゼル (英語版 ) (1930年 ) は
π π -->
(
x
+
x
θ θ -->
)
− − -->
π π -->
(
x
)
∼ ∼ -->
x
θ θ -->
log
-->
(
x
)
as
x
→ → -->
∞ ∞ -->
,
{\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,}
であるような定数θ < 1が存在することを初めて示し[ 13] 、それゆえ十分大きいn に対して
g
n
<
p
n
θ θ -->
,
{\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },\,}
であることを示した。
ホハイゼルはθで可能な値32999/33000を得た。これはハンス・ハイルブロン (英語版 ) により249/250と改善され[ 14] 、ニコライ・チュダコフ (英語版 ) により任意のε > 0に対してθ = 3/4 + εとした[ 15] 。
主な進歩はアルバート・イングハム による[ 16] 。彼はいくつかの正の定数c に対して
ζ ζ -->
(
1
/
2
+
i
t
)
=
O
(
t
c
)
{\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})\,}
であるとき、任意の
θ θ -->
>
(
1
+
4
c
)
/
(
2
+
4
c
)
{\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c)}
に対して
π π -->
(
x
+
x
θ θ -->
)
− − -->
π π -->
(
x
)
∼ ∼ -->
x
θ θ -->
log
-->
(
x
)
{\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}
と示した。ここでO はランダウの記号 、ζはリーマンゼータ関数 、πは素数計数関数 である。任意のc > 1/6が許容されることが分かっていれば、θが5/8より大きい任意の数値であることが分かる。
イングハムの結果の直接の結果は、nが十分大きい場合、n 3 と(n + 1)3 の間に必ず素数が存在するということである[ 17] 。アーンスト・リンデレフ (英語版 ) の仮説はイングハムの式がc の任意の正の数に対しても成り立つことを暗に示すが、十分大きいn に対してn 2 と(n + 1)2 の間に素数が存在することを暗示するには十分ではないであろう(ルジャンドル予想 参照)。
マーティン・ハクスリー (英語版 ) は1972年にθ = 7/12 = 0.58(3)を選択してもよいことを示した[ 18] 。
2001年のR.C.ベイカー 、グリン・ハーマン 、ヤノス・ピンツ (英語版 ) による結果では、θは0.525ととられる可能性があることを示した[ 19] 。
2005年、ダニエル・ゴールドストン (英語版 ) ,ヤノス・ピンツ (英語版 ) , ジェム・ユルドゥルム (英語版 ) は
lim inf
n
→ → -->
∞ ∞ -->
g
n
log
-->
p
n
=
0
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}
を証明し、2年後これを改良し[ 20] 、
lim inf
n
→ → -->
∞ ∞ -->
g
n
log
-->
p
n
(
log
-->
log
-->
p
n
)
2
<
∞ ∞ -->
.
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}
とした。
2013年、張益唐 は
lim inf
n
→ → -->
∞ ∞ -->
g
n
<
7
⋅ ⋅ -->
10
7
,
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}
を証明した。これは70 000 000を超えない間隔が無限にあるという意味である[ 21] 。張の境界を最適化するPolymathプロジェクトの共同作業により、2013年7月20日に境界を4680まで下げることに成功した[ 22] 。2013年11月、ジェームズ・メイナード はGPYふるいを新たに改善したものを導入し、境界を600まで下げ、任意のm について、それぞれがm個の素数を含む解釈が無限である境界間隔が存在することを示した[ 23] 。メイナードの考えを用いて、Polymathプロジェクトは境界を246に改良した[ 22] [ 24] 。エリオット・ハルバースタム予想 (英語版 ) とその一般形を仮定すると、Nはそれぞれ12と6に減少される[ 22] 。
下限
1931年、エリック・ウェストジンティウス は極大の素数の間隔は対数的よりも大きくなることを証明した[ 3] 。
lim sup
n
→ → -->
∞ ∞ -->
g
n
log
-->
p
n
=
∞ ∞ -->
.
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}
である。1938年、ロバート・ランキン (英語版 ) は、無限に大きいnに対して
g
n
>
c
log
-->
n
log
-->
log
-->
n
log
-->
log
-->
log
-->
log
-->
n
(
log
-->
log
-->
log
-->
n
)
2
{\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}
が成り立つ定数c > 0が存在することを示し、ウェストジンティウスとポール・エルデシュ の結果を改良した。彼はのちに任意の定数c < e γ (γはオイラーの定数 )を取ることができることを示した。1997年に定数c の値は2e γ 以下の任意の値に改良された[ 25] 。
ポール・エルデシュは、上記の不等式の定数c が任意に大きく取れることの証明および反証に対して1万ドル の賞金を提供した[ 26] 。これは2014年にケビン・フォード (英語版 ) 、ベン・グリーン 、セルゲイ・コンヤギン (英語版 ) 、テレンス・タオ とジェームズ・メイナードにより独立に正しいことが証明された[ 27] [ 28] 。
この結果はさらにフォード、グリーン、コンヤギン、テレンス・タオにより、無限に大きいnに対して
g
n
>
c
log
-->
n
log
-->
log
-->
n
log
-->
log
-->
log
-->
log
-->
n
log
-->
log
-->
log
-->
n
{\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}
と改良された[ 29] 。
エルデシュの最初の賞の精神でテレンス・タオはこの不等式でc が任意に大きくとられる可能性があるという証明に対して1万ドルを提供した[ 30] 。
素数の連鎖の下限も決定されている[ 31] 。
素数の間隔の予想
素数の間隔関数
リーマン予想 のもとではさらに良い結果が得られる。ハラルド・クラメール はリーマン予想が、間隔g n はランダウの記号 を用いて
g
n
=
O
(
p
n
log
-->
p
n
)
,
{\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}
であることを暗示していることを証明した[ 32] 。のちに、この間隔はさらに小さいと予想した。おおまかに言うと、クラメールの予想 は
g
n
=
O
(
(
log
-->
p
n
)
2
)
.
{\displaystyle g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).}
という内容である。Firoozbakhtの予想 は
p
n
1
/
n
{\displaystyle p_{n}^{1/n}}
(
p
n
{\displaystyle p_{n}}
はn番目の素数)はnの厳密に減少する関数である。すなわち、
p
n
+
1
1
/
(
n
+
1
)
<
p
n
1
/
n
for all
n
≥ ≥ -->
1.
{\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.}
である。この予想が真である場合、関数
g
n
=
p
n
+
1
− − -->
p
n
{\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}
は
g
n
<
(
log
-->
p
n
)
2
− − -->
log
-->
p
n
for all
n
>
4.
{\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ for all }}n>4.}
を満たす[ 33] 。これはクラメールの予想の強い形を暗示しているが、GranvilleとPintzのヒューリスティックとは矛盾している[ 34] [ 35] [ 36] 。これは任意の
ε ε -->
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
に対して
g
n
>
2
− − -->
ε ε -->
e
γ γ -->
(
log
-->
p
n
)
2
{\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}
が無限回起こる(
γ γ -->
{\displaystyle \gamma }
はオイラーの定数 )
その一方、Oppermannの予想 はクラメールの予想より弱い。Oppermannの予想で予想される間隔は
g
n
<
p
n
.
{\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}
のオーダーである。結果としてOppermannの予想の元では、全ての自然数
n
>
m
{\displaystyle n>m}
に対して
g
n
<
p
n
.
{\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}
を満たす
m
{\displaystyle m}
(おそらく
m
=
30
{\displaystyle m=30}
)が存在する。
Oppermannの予想よりも弱いAndricaの予想 は
g
n
<
2
p
n
+
1.
{\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}
という内容である[ 37] 。これは連続する平方数の間には素数が必ずあるというルジャンドル予想 よりは少し強い。
Polignacの予想は、全ての正の偶数k が無限の頻度で素数の間隔として生じるという内容である。k = 2の場合は双子素数予想 である。この予想は特定のkの値についてはまだ証明されておらず、反証もされていないが、張益唐 の結果は少なくとも1つ(現在のところ未知)の7千万より小さいkの値については真であることが証明されている。上で議論されたように、この上限は246に改良された。
数論的関数として
n番目の素数と(n+1)番目の素数の間の間隔g n は数論的関数 の1例である。この文脈では通常d n で表され、素数差分関数(prime difference function )と呼ばれる[ 37] 。この関数は乗法的関数 でも加法的関数 でもない。
関連項目
脚注
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^ “The Top-20 Prime Gaps ”. 2014年6月13日 閲覧。
^ “A proven prime gap of 1113106 ”. 2021年10月27日 閲覧。
^ a b c NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT
^ Dynamic prime gap statistics
^ TABLES OF PRIME GAPS
^ 他の記録はA111943 で見ることができる。
^ NEW MAXIMAL PRIME GAPS OF 1530 AND 1550
^ 他の記録はA005250 にあり、A002386 の対応する素数p n とA005669 のn の値とともに見ることができる。
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^ a b Guy (2004) §A8
関連文献
外部リンク
生成式 漸化式 (英語版 ) 各種の性質 基数依存 組
互いに素
双子 (p , p + 2 )
Bi-twin chain (n − 1, n + 1, 2n − 1, 2n + 1, … )
三つ子 (p , p + 2 or p + 4, p + 6 )
四つ子 (p , p + 2, p + 6, p + 8 )
k −Tuple
いとこ (p , p + 4 )
セクシー (p , p + 6 )
陳
ソフィー・ジェルマン (p , 2p + 1 )
カニンガム鎖 (p , 2p ± 1, … )
安全 (p , (p − 1)/2 )
算術数列 (英語版 ) (p + an ; n = 0, 1, … )
平衡 (p − n , p , p + n )
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