階乗素数

階乗素数（かいじょうそすう、英: factorial prime）とは、階乗との差が 1 である素数のことである。つまり、n! ± 1（n は自然数）と表される素数のことである。

階乗素数は少ないことと、自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。n! ± k (2 ≤ k ≤ n) は 2 以上の自然数 k で割りきれるから、連続する n − 1 個の合成数である。例えば、素数 13! − 23 = 6227020777 の次の素数は 13! + 67 = 6227020867 であり、これらの間の89個の自然数はすべて合成数である。しかし、2つの素数の間の長いギャップはこの方法により得られるものがすべてではない。例えば、素数 360653 と 360749 の間には95個の合成数が並んでいる。

2022年1月現在49個の階乗素数が知られており、その中で最大のものは 308084! + 1 である。十進法表示したときの桁数は144万9771桁にも及ぶ。

n! + 1 型の階乗素数

n! + 1 が素数となる 0 以上の整数 n は、小さい順に次のようになる。

0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209, 288465, …（オンライン整数列大辞典の数列 A2981）

このときの実際の素数はオンライン整数列大辞典の数列 A088332を参照。

• 3! + 1 = 7 であるが、n ≥ 11 以降、急に大きくなる。

  11! + 1 = 39916801

  27! + 1 = 10888869450418352160768000001

n! − 1 型の階乗素数

n! − 1 が素数となる 0 以上の整数 n は、小さい順に次のようになる。

3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790, 94550, 103040, 147855, 208003, …（A2982）

このときの実際の素数はオンライン整数列大辞典の数列 A055490を参照。

• 7! − 1 = 5039 であるが、n ≥ 12 以降、急に大きくなる。

  12! − 1 = 479001599

  14! − 1 = 87178291199

その他

• n! ± 1 が共に素数となる自然数 n は 3 のみが知られているだけで、他にそのような自然数 n は未だに発見されていない。
• n! + 1 もしくは n! − 1 の素数も合成数も無数に存在するかはわかっていない。
• n! + 1に関してはウィルソンの定理より合成数が無数に存在することが素数の無限性より容易に示せる。

参考文献

• リチャード・ガイ著 Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed., Springer, 2004 ISBN 978-0387208602
  • （初版の訳）一松信訳『数論における未解決問題集』シュプリンガー・フェアラーク・東京、1994年 ISBN 978-4431705840
  • （第三版の訳）金光滋訳『数論「未解決問題」の事典』朝倉書店、2010年 ISBN 978-4254111293

関連項目

• 階乗
• 素数
• 素数階乗
• 素数階乗素数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Factorial Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
• The Prime Pages, The Prime Glossary: factorial prime
  • The Top Twenty: Factorial primes
• PrimeGrid, Factorial Prime Search