直極点

直線lの直極点H

幾何学において直極点（ちょっきょくてん、英:Orthopole）は、三角形と直線に対して定義される特別な点の一つである[1][2]。△ABCと直線lについて、A, B, Cからlに降ろした垂線の足をそれぞれA', B', C'とする。A', B', C'から△ABCの辺BC, CA, ABに降ろした垂線は一点で交わる。この点をlの直極点という[3][4][5]。例えば、オイラー線の直極点はジェラベク双曲線の中心、ブロカール軸の直極点はキーペルト双曲線の中心である。

直極点は多くの性質を持つために 、様々な文献の対象となっている[6]。特に、ある点を直極点とする直線や、直極円（orthopolar circle）と呼ばれる円が重要なテーマとなっている[7][8]。

性質

  • 直線が平行に動くとき、その直極点は直線と等距離に動き、直線に垂直な直線を成す[9]。
  • 三角形の辺の直極点は垂心である。
  • 中心を反中点三角形の頂点とし直線に接する円の根心はその直線の直極点である[10]。
  • 垂心を通る直線の直極点をその直線で鏡映した点は九点円上にある[10]。
  • 四角形ABCDについて、4頂点のうち3点から成る4つの三角形に対する、直線の直極点は共線である。その線はOrthopolar Lineと呼ばれる。
  • 4本の直線から成る四角形、完全四辺形（英語版）と直線lについて、4本の直線のうち3本の直線が成す三角形に対するlの直極点は共線である。さらにそれら直極点のlに対する垂足から残りの1本の直線へ降ろした垂線は共点である[11][12]。これをこの四角形に対するlの直極点という。

シムソン線との関係

  • シムソン線の直極点は、そのシムソン線に垂直なシムソン線上にある[13]。
  • 外心を通る直線lと外接円の2交点のシムソン線の交点は、lの直極点で、九点円上にある[13]。

円錐曲線との関係

任意の点Pを通る直線の直極点の軌跡は円錐曲線、特に楕円を成す[9][14][15]。この楕円はシュタイナーデルトイドと接する。楕円が線分に退化するときは、Pが外接円上にあるときである（掛谷集合も参照）。Pが外心であるとき、楕円は九点円となる。

ルモワーヌの定理

直極点をHとする直線上の任意の点Pの垂足円に対するHの方べきの値は一定である[16]。1904年、ティモレオン・ルモワーヌによって示された[17]。この定理の系にグリフィスの定理または第二フォントネーの定理、一般化にエイヤールの定理がある。

一般化

直極点は対垂三角形の関係にある一方の三角形を退化させたものの対垂の中心としてみることができる[18]。このとき、もう一方の対垂の中心は平行な垂線が交わる点、無限遠点となる。

また直極点は任意の角に対する一般化が可能である[19][20][21]。△ABCと直線lについて、AA', BB', CC'がlと有向角θを成すようにl上に点A', B', C'をとる。それぞれA', B', C'を通り、BC, CA, ABと有向角π - θを成す直線は一点で交わる。これを斜極点（Isopole）という[22]。

直線lへのA, B, Cの垂線の足をそれぞれA', B', C'とする。線分AA', BB', CC'をそれぞれ点P, Q, Rが一定の比で分つとすると、P, Q, RからBC, CA, ABに降ろした垂線は共点である。比を0:1にすると直極点を得る[23]。

直極円

直線lに対して、A, B, Cからlに降ろした垂線の足をそれぞれA', B', C'、BC, CA, ABの中点をD, E, Fとする。Dを中心とするB', C'を通る円、Eを中心とするC', A'を通る円、Fを中心とするA', B'を通る円の根円をlの直極円という[24]。中心はlの直極点で、lが外心を通るとき点に退化する。虚円になることもある。

四辺形における直極点の定理の強い形として、

完全四辺形を構成する4つの三角形に対する、直線lの直極円は共軸である。

という定理が成立する[25]。

関連

出典

  1. ^ Goormaghtigh, R. (1939). “Analytic Treatment of Some Orthopole Theorems”. The American Mathematical Monthly 46 (5): 265–269. doi:10.2307/2303891. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2303891. 
  2. ^ “Orthopoles and the Pappus Theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月26日閲覧。
  3. ^ “Orthopoles, Flanks, and Vecten Points”. Forum Geometricorum. 2024年5月26日閲覧。
  4. ^ “Extended glossary”. faculty.evansville.edu. 2024年5月26日閲覧。
  5. ^ Johnson, Roger Arthur. “Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle” (英語). HathiTrust. 2024年5月26日閲覧。
  6. ^ Ramler, O. J. (1930). “The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle”. The American Mathematical Monthly 37 (3): 130–136. doi:10.2307/2299415. JSTOR 2299415. 
  7. ^ Karl, Mary Cordia (1932). “The Projective Theory of Orthopoles”. The American Mathematical Monthly 39 (6): 327–338. doi:10.2307/2300757. JSTOR 2300757. 
  8. ^ Goormaghtigh, R. (December 1946). “1936. The orthopole”. The Mathematical Gazette 30 (292): 293. doi:10.2307/3610737. JSTOR 3610737. 
  9. ^ a b Episodes Nineteenth and Twentieth Centur Euclidean Geometry. Mathematical Association of America. (1995). pp. 125-136. https://www.ams.org/books/nml/037/nml037-endmatter.pdf 
  10. ^ a b Altshiller-Court, Nathan (1952). College geometry; an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle. Internet Archive. New York, Barnes & Noble. http://archive.org/details/collegegeometryi00alts 
  11. ^ 蛭子井博孝「直極点による卵形線の拡張としての多極多重曲線」『図学研究』第35巻第1号、日本図学会、2001年、2頁、doi:10.5989/jsgs.35.9、ISSN 03875512。 
  12. ^ 蛭子井博孝「無限連鎖定理に関する考察」『図学研究』第33巻Supplement、日本図学会、1999年、103-106頁、doi:10.5989/jsgs.33.supplement_103、ISSN 0387-5512。 
  13. ^ a b MathWorld, Orthopole.
  14. ^ Lalescu, Traian; Lalesco, Trajan (1952) (フランス語). La géometrie du triangle. Librairie Vuibert. https://books.google.co.jp/books/about/La_g%C3%A9ometrie_du_triangle.html?id=6EHvAAAAMAAJ&redir_esc=y 
  15. ^ “Orthopole”. users.math.uoc.gr. 2024年5月26日閲覧。
  16. ^ Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson. http://archive.org/details/cu31924001522782 
  17. ^ Lemoyne, T. (1904). “Note de géométrie” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale 4: 400–402. ISSN 2400-4782. http://www.numdam.org/item/NAM_1904_4_4__400_0/. 
  18. ^ Алексей Мякишев, г. Москва. “ПРОГУЛКИ ПО ОКРУЖНОСТЯМ: ОТ ЭЙЛЕРА ДО ТЕЙЛОРА”. 2024年5月26日閲覧。
  19. ^ Third, J. A. (1912/02). “Generalisation of the “Orthopole” and Allied Theorems” (英語). Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 31: 17–34. doi:10.1017/S0013091500034131. ISSN 1464-3839. https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/generalisation-of-the-orthopole-and-allied-theorems/113EE72220831F6E3992BE3FBB5D378E. 
  20. ^ Hsu, Chen-Jung; 許振榮 (1984). “On Orthopole Lines, Isopole Lines and Generalizations of Kantor's Theorem”. Chinese Journal of Mathematics 12 (3): 171–184. ISSN 0379-7570. https://www.jstor.org/stable/43836220. 
  21. ^ P. S. Modenov (1981) (English). Problems In Geometry. pp. 94,149. http://archive.org/details/ModenovProblemsInGeometryMir1981 
  22. ^ 蛭子井博孝「Doval (デカルトの卵形線の内外分枝) のある一般化」『図学研究』第42巻Supplement1、日本図学会、2008年、171-172頁、doi:10.5989/jsgs.42.supplement1_171、ISSN 0387-5512。 
  23. ^ 窪田忠彦『輓近高等数学講座 第33巻』共立社書店、1933年、166頁。NDLJP:1236811。 
  24. ^ 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、131-132,134,138頁。NDLJP:1063410。 
  25. ^ 窪田忠彦 (1934). “Une généralisation du théorème de Aiyar et du théorème de Bricard”. Japanese journal of mathematics :transactions and abstracts 11: 253-254. https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/11/0/11_0_253/_article/-char/ja. 

参考文献

外部リンク