ブロカール点

三角形のブロカール点

ブロカール点(ブロカールてん、Brocard point)は、幾何学用語のひとつ。第一と第二の2つがあり、それぞれ任意の三角形においてひとつずつ存在する。

1875年に論文を発表したフランスの軍人アンリ・ブロカール (Henri Brocard、1845 - 1922) から命名された。

第一ブロカール点(1st Brocard point)
△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA=ωを満たす点のこと。
第二ブロカール点(2nd Brocard point)
△ABCの内部の点Ω'において、∠Ω'AC=∠Ω'CB=∠Ω'BA=ωを満たす点のこと。
それぞれの三線座標は以下のように与えられる[1]

ブロカール角

定義中に登場した角度ωをブロカール角と呼ぶ。三角形の3つの角の大きさをαβγ、3辺の長さを abc、面積を S とすると以下の式が成り立つ。

その他の性質

関連する点

2つのブロカール点の中点をブロカール中点という。この点は外心類似重心を結ぶ直線(ブロカール軸)上にある。ブロカール中点X(39)の三線座標は以下のように与えられる[2]

ΩB と Ω'C の交点を A'、ΩC と Ω'A の交点を B'、ΩA と Ω'B の交点を C' としたとき、AA',BB',CC' は1点で交わる。この点を第三ブロカール点という。この点は類似重心の等長共役点であり、キーペルト双曲線上にある。第三ブロカール点X(76)の三線座標は以下のように与えられる[2]

四角形におけるブロカール点

F. G. W. Brown は1917年The Mathematical Gazette において、四角形のブロカール点について記述している[3]

四角形が ABCD が円に内接し、AB×CD=BC×DA のとき、∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=ω となる点Pが存在する。同様に∠QAD=∠QBA=∠QCB=∠QDC=ω となる点Qが存在する。

脚注

  1. ^ Weisstein, Eric W.. “Brocard Points” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
  2. ^ a b ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月21日閲覧。
  3. ^ F. G. W. Brown (1917-05). “508. [K1. 8. a.] Brocard Points for a Quadrilateral.”. The Mathematical Gazette 9 (129): 83-85. doi:10.2307/3603502. 

関連項目

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Brocard Points". mathworld.wolfram.com (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Third Brocard Point". mathworld.wolfram.com (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Brocard Midpoint". mathworld.wolfram.com (英語).