「曲線 」とは異なります。
この項目では、数学 における図形 の「極、極線」その他の用法については「極 」をご覧ください。
その他の用法については「極線 」をご覧ください。
中心をO r とする円に関する点Q q 。点P Q OQ とq は直交する。 極 （きょく、英 : Pole ）と極線 （きょくせん[ 1] 英 : polar, polar line ）は、幾何学 において、円錐曲線 に関する点 と直線 を指す用語[ 2] [ 3] [ 4] [ 5] 極点 とも言われる[ 6] [ 7]
与円による極と極線の相反変換（Polar reciprocation）は、点を直線に、直線を点に変換する。
極と極線はいくつかの有用な性質を持つ。
点P l 上にあるとき、l の極L P ラ・イールの定理 、La Hire's theorem）[ 2] [ 8]
点P l 上を動くとき、P l の極を中心に回転 する。
極を通る円錐曲線の2つの接線 の接点 は極線上にある。
円錐曲線上の点の極線は、その点における円錐曲線の接線である。
点が自身の極線上にあるならば、その点は円錐曲線上にある。
どの直線も、退化していない円錐曲線に対して、極を持つ。
円錐曲線が円である場合は反転 と深い関係を持つ。もととなる円をC とする。極線L の極は、L の円の中心に最も近い点（円の中心を通る垂線の垂足）をC において反転した点となる。逆に、点Q Q C において反転した点P P
点Q q 上の点A a はQ 極と極線の関係は相互的である。点Q q 上の点A a はQ
円の外側に極P P 円の接線 （英語版 ） P 円錐曲線 に対する極と極線へ一般化することができる。
点と直線の双対 性の画像。2直線a,k が一点Q Q q はa,k の極を結んだ直線となる。 極と極線の概念は射影幾何学 にも発展できる。例えば、与えられた極と円錐曲線に対する射影調和共役 点の集合は極線となる。 点を曲線に置き換える操作、またその逆の操作は極系（polarity）と呼ばれる[ 9]
極系は対合 として知られる相互関係でもある。
任意の点P p について、p 上の他の点Q P q の極である。これは相互的な関係を構築し、その逆の操作も相互的になる[ 10]
直線p,l,m はそれぞれ点P ,L ,M 直線p,m はそれぞれ点P ,M の極線。極と極線の概念は円から円錐曲線 （楕円 、双曲線 、放物線 等）へ拡張できる。接続関係 （英語版 ） 複比 、射影変換 などに関わる性質は、一般化しても同様に成り立つ。
一般化された円錐曲線は平面 直交座標系 (x , y ) で、二次曲線として次の式で表すことができる。
A
x
x
x
2
+
2
A
x
y
x
y
+
A
y
y
y
2
+
2
B
x
x
+
2
B
y
y
+
C
=
0
{\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}
ただし
A
x
x
,
A
x
y
,
A
y
y
,
B
x
,
B
y
,
C
{\displaystyle A_{xx},A_{xy},A_{yy},B_{x},B_{y},C}
定数 とする。点(ξ , η ) の極線の方程式は次の形で与えられる。
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}
ただし
D
=
A
x
x
ξ
+
A
x
y
η
+
B
x
E
=
A
x
y
ξ
+
A
y
y
η
+
B
y
F
=
B
x
ξ
+
B
y
η
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}}
直線
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Dx+Ey+F=0}
A
x
x
x
2
+
2
A
x
y
x
y
+
A
y
y
y
2
+
2
B
x
x
+
2
B
y
y
+
C
=
0
{\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}
まず次の式のx,y,zを求める。
[
x
y
z
]
=
[
A
x
x
A
x
y
B
x
A
x
y
A
y
y
B
y
B
x
B
y
C
]
−
1
[
D
E
F
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}
(
x
z
,
y
z
)
{\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}
円錐曲線
円錐曲線の方程式
P
=
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}
円
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
x
0
x
+
y
0
y
=
r
2
{\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}
楕円
(
x
a
)
2
+
(
y
b
)
2
=
1
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}
双曲線
(
x
a
)
2
−
(
y
b
)
2
=
1
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}
x
0
x
a
2
−
y
0
y
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}
放物線
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
y
+
y
0
=
2
a
x
0
x
{\displaystyle y+y_{0}=2ax_{0}x}
円錐曲線
円錐曲線の方程式
直線u x + v y = w
円
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
(
r
2
u
w
,
r
2
v
w
)
{\displaystyle \left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)}
楕円
(
x
a
)
2
+
(
y
b
)
2
=
1
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}
(
a
2
u
w
,
b
2
v
w
)
{\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}
双曲線
(
x
a
)
2
−
(
y
b
)
2
=
1
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}
(
a
2
u
w
,
−
b
2
v
w
)
{\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}
放物線
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
(
−
u
2
a
v
,
−
w
v
)
{\displaystyle \left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)}
射影幾何学 では、平面上の任意の2直線は必ず交わるとされる。 4つの直線は完全四辺形 （英語版 ） 四角形 を成す。また4点を結ぶ直線の交点は対角点（diagonal point）と呼ばれる。
円錐曲線C 上にない点Z を与え、Z を通る2つC の割線を作る。割線とC の交点A,B,D,E から完全四辺形を作る。するとZ はこの完全四辺形の対角点の一つとなる。他の二つの対角点を結ぶ直線はZ の極線となる（ブロカールの定理、Brocard's theorem）[ 2] [ 11]
極と極線は、元はジョセフ・ジェルゴンヌ がアポロニウスの問題 を解くために定義したものである[ 12]
平面力学においてpole（極）は回転の中心、polarは力線 、conicは慣性の質量行列 の役割を果たす[ 13] 打撃の中心 （英語版 ） スクリュー理論 （英語版 ）
^ 「極線 」『デジタル大辞泉、精選版 日本国語大辞典』。https://kotobank.jp/word/%E6%A5%B5%E7%B7%9A 。コトバンク より2024年8月3日 閲覧 ^ a b c エヴァン・チェン『数学オリンピック幾何への挑戦 ユークリッド幾何学をめぐる船旅』森田康夫 監訳、兒玉太陽、熊谷勇輝、宿田彩斗、平山楓馬 訳、日本評論社、2023年2月。ISBN 978-4-535-78978-4 。
^ ジョン・ケージー 『幾何学続編』山下安太郎 、高橋三蔵 、有朋堂 、1909年、56-57,187-196頁。NDLJP :828521 。 ^ 中川銓吉 『近世綜合幾何学演習』共立出版 、1948年、219頁。NDLJP :1063414 。 ^ 森本清吾 『初等幾何学』朝倉書店、1953年。NDLJP :1372292 。 ^ 窪田忠彦 『近世幾何学』岩波書店 、1947年、35-71,103,130頁。NDLJP :1063410 。 ^ ショヴネー （英語版 ） 乙部兵義 訳、開新堂 、1891年、144,147頁。NDLJP :828565 。 ^ 林鶴一 『軌跡問題 初等幾何學』（第4版）大倉書店〈數學叢書〉、1910年。NDLJP :1082013 。 ^ 吉川実『近世総合幾何学』大日本図書〈数学叢書〉、1907年、275頁。NDLJP :828610 。 ^ Edwards, Lawrence; Projective Geometry , 2nd Edn, Floris (2003). pp. 125-6.
^ Halsted, George Bruce (1906). Synthetic projective geometry . http://archive.org/details/syntheticproject00halsuoft ^ “Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections ”. 2013年6月4日 閲覧。 ^ John Alexiou Thesis, Chapter 5, pp. 80–108 Archived 2011-07-19 at the Wayback Machine .
