Cette opération est notée avec un point d'exclamation, n!, ce qui se lit soit « factorielle de n », soit « factorielle n », soit[1] « n factorielle ». Cette notation a été introduite en 1808 par Christian Kramp.
Par exemple, la factorielle 10 exprime le nombre de combinaisons possibles de placement des 10 convives autour d'une table (on dit la permutation des convives). Le premier convive s'installe sur l'une des 10 places à sa disposition. Chacun de ses 10 placements ouvre 9 nouvelles possibilités pour le deuxième convive, celles-ci 8 pour le troisième, et ainsi de suite.
Au XIIIe siècle, le mathématicien de MarrakechIbn Mun’im publie un livre intitulé La science du calcul (Fiqh Al-Hisab) dans lequel il traite pour la première fois de factorielles[2]. Il démontre notamment comment calculer le nombre des permutations d'un ensemble de n éléments.
Définition
n
n!
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5 040
8
40 320
9
362 880
10
3 628 800
11
39 916 800
12
479 001 600
13
6 227 020 800
14
87 178 291 200
15
1 307 674 368 000
16
20 922 789 888 000
17
355 687 428 096 000
18
6 402 373 705 728 000
19
121 645 100 408 832 000
20
2 432 902 008 176 640 000
…
…
25
1,551 121 004 333 098 598 4 × 1025
Notes :
Voir suite A000142 de l'OEIS pour davantage d'exemples.
La partie décimale de la valeur de 25!, indiquée en notation scientifique, est exacte.
Soit n un entier naturel. Sa factorielle est formellement définie par :
Le tableau de droite donne les premières factorielles ; par exemple, on a :
puisque par convention, le produit vide est égal à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique ici car elle permet à des formules de dénombrement obtenues en analyse combinatoire d'être encore valides pour des tailles nulles. En particulier, le nombre d'arrangements ou de permutations de l'ensemble vide est égal à 1.
La fonction factorielle admet pour prolongement, à l'ensemble des nombres complexes autres que les entiers strictement négatifs, l'application où désigne la fonction gamma d'Euler. En effet, pour tout entier naturel n, on a :
Par ailleurs, la fonction vérifie la même relation de récurrence que la factorielle :
Cette vision de la fonction gamma (translatée) comme prolongement privilégié de la factorielle est justifiée par les raisons suivantes :
les deux fonctions partagent une même définition récurrente ;
la fonction gamma est généralement utilisée dans un contexte similaire (même si plus général) à la factorielle ;
la fonction gamma est la seule fonction qui satisfasse cette définition de récurrence sur les nombres complexes, qui est holomorphe et dont le logarithme de la restriction aux réels positifs est convexe (théorème de Bohr-Mollerup).
En combinatoire, il existe n! façons différentes d'arrangern objets distincts (c’est-à-dire n! permutations). Et le nombre de façons de choisir k éléments parmi un ensemble de n est donné par le coefficient binomial :
Les factorielles apparaissent également en analyse. Par exemple, le théorème de Taylor, qui exprime la valeur en x d'une fonction ƒ sous forme de série entière, fait intervenir la factorielle n! pour le terme correspondant à la nedérivée de ƒ en x.
Les factorielles sont souvent utilisées comme exemple — avec la suite de Fibonacci — pour l'apprentissage de la récursivité en informatique du fait de leur définition récurrente simple.
En particulier, si n est premier alors il ne divise pas (n – 1)!, ce qui peut d'ailleurs se déduire directement du lemme d'Euclide ; la réciproque est presque vraie : si n est un nombre composé différent de 4, alors (n – 1)! ≡ 0 (mod n).
La seule factorielle qui soit également un nombre premier est 2, mais il existe des nombres premiers de la forme n! ± 1, appelés nombres premiers factoriels.
De nombreux auteurs ont défini des fonctions analogues, croissant plus rapidement encore, ainsi que des produits restreints à certains entiers seulement. On rencontre ainsi dans la littérature[7] les fonctions primorielles, multifactorielles, superfactorielles, hyperfactorielles, etc. Mais il ne semble pas que, contrairement à la factorielle, omniprésente dans la plupart des branches des mathématiques, ces autres fonctions aient eu beaucoup d'applications autres que récréatives, sauf les primorielles ; quant à leur utilisation pour désigner de très grands nombres, les notations de Knuth et celles de Conway s'avèrent à la fois plus maniables et beaucoup plus efficaces.
Fonction factorielle (n: entier): entier
DébutSi n > 0
Retourner n * factorielle(n - 1)
SinonRetourner 1
Fin siFin
Nombre de zéros finaux de n!
La pertinence de cette section est remise en cause. Considérez son contenu avec précaution. Améliorez-le ou discutez-en, sachant que la pertinence encyclopédique d'une information se démontre essentiellement par des sources secondaires indépendantes et de qualité qui ont analysé la question. (mars 2024) Motif avancé : Trop détaillé (et l’article « formule de Legendre » suffit). Peut-être à recaser dans une traduction de l’article anglais Trailing zeros.
On admet la notation suivante : est la partie entière de définie par [8].
Cette propriété ne présente pas de grand intérêt en apparence mais permet d'obtenir le nombre de zéros finaux de n!. Mais qu'est ce qu'un zéro final ? Prenons comme exemple , il y a deux zéros finaux. Nommons une telle fonction.
Démonstration
On a
On cherche donc le nombre de facteurs 10 dans 10!, il y en a deux. Pour trouver le deuxième, on décompose en produit de facteurs premiers, on obtient : Pour obtenir ; on peut réarranger ainsi :
On remarque que se décompose en , donc chercher des facteurs est équivalent à chercher des facteurs multiplié par . En généralisant, il y a multiples de et multiples de inférieurs ou égales à . De plus dans un multiple de , il y a au moins un facteur , de même pour un multiple de . Comme , on pourra toujours combiner un facteur avec un facteur et donc obtenir un facteur . Ainsi le nombre de zéros finaux de sera le nombre de facteurs de . Pour trouver le nombre de facteurs , on a le nombre de multiples de mais ce n'est pas suffisant, dans il y a deux facteurs (), comme et , dans il y a trois facteurs (). Plus simplement on doit compter fois chaque multiple . Donc le nombre de facteurs de est la somme du nombres de multiples de chaque puissance de inférieures ou égales à . C'est-à-dire :
Avec la plus grande puissance de inférieure ou égale à . On a donc :
On veut l'entier inférieur le plus proche de , d'où .
↑collège André Doucet de Nanterre, collège Victor Hugo de Noisy le Grand, Danielle Buteau, Martine Brunstein, Marie-Christine Chanudeaud, Pierre Lévy et Jacqueline Zizi, « Par combien de zéros se termine N! ? », Congrès “MATh.en.JEANS” à l'Ecole Polytechnique, , p. 79 (lire en ligne [PDF])