fr Nombre multicomplexe (Segre)

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole $\mathbb {C} _{n}$ ( $n \in ℕ$ ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension $2 n$ sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.

Définition

Par récurrence

Les algèbres multicomplexes ℂ_n se construisent par récurrence, en posant $ℂ 0 = ℝ$ comme initialisation. En supposant l’algèbre $ℂ n -1| n \geq 1$ déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire $i n \notin ℂ n -1$ vérifiant $i 2 n = -1$ et commutant avec les précédentes unités imaginaires $i 1, \dots, i n -1$ : on définit alors $ℂ n = {x + y i n | (x, y) \in ℂ n -1 2}$ .

Directe

Pour $n \geq 1$ , $1$ et $i n$ commutent avec tout nombre de ℂ_n−1, et $Vect(1,i n) \notin ℂ n -1$ (car $i n \notin ℂ n -1$ ). La relation $ℂ n = {x + y i n | (x, y) \in ℂ n -1 2}$ peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres $ℂ n = ℂ n -1 \otimes ℝ Vect(1,i n)$ . En outre, puisque $i 2 n = -1$ , on a $Vect(1,i n) ≅ ℂ$ , d’où $ℂ n = ℂ n -1 \otimes ℝ ℂ$ . ℝ étant l’élément neutre de ⊗_ℝ, et donc son produit vide, on a donc :

\forall n\in \mathbb {N} ,\mathbb {C} _{n}=\underbrace {\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\cdots \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } _{n{\text{ facteurs}}}={\bigotimes ^{n}}_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \ .

Propriétés algébriques

Le nombre de composantes doublant à chaque rang $n$ et $ℂ 0 = ℝ$ étant de dimension 1 sur ℝ, ℂ_n est de dimension $2 n$ sur ℝ.
Chaque ℂ_n est une algèbre de Banach.
Pour n ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, ℂ_n possède des diviseurs de zéro :
- pour $a \neq b$ , on a $i a -i b \neq 0$ , $i a +i b \neq 0$ et $(i a -i b)(i a +i b) = i 2 a -i 2 b = 0$ ;
- pour $a \neq b$ , on a $i a i b -1 \neq 0$ , $i a i b +1 \neq 0$ et $(i a i b -1)(i a i b +1) = i 2 a i 2 b -1 = 0$ .

Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Fleury

$ℂ n ≅ 𝓜ℂ 2 n$ .

Sous-algèbres

Pour $n \geq 1$ , ℂ₀, …, ℂ_n−1 sont des sous-algèbres de ℂ_n.
Pour $k \leq n$ , ℂ_n est de dimension $2 n - k$ sur ℂ_k.
Pour $n \geq 1$ , chaque unité $i k$ vérifie $i 2 k = -1$ , donc ℂ_n contient $n$ copies du plan complexe.
Pour $n \geq 2$ et $a \neq b$ , chaque nombre $j a, b = i a i b = i b i a$ vérifie $j a, b 2 = 1$ , donc ℂ_n contient $n (n -1) / 2$ copies du plan des complexes déployés.

Cas particuliers

Les cas $n \leq 3$ ont des noms consacrés :

ℂ₀ : nombre réel (ℝ) ;
ℂ₁ : nombre complexe (ℂ) ;
ℂ₂ : nombre bicomplexe ;
ℂ₃ : nombre tricomplexe.

Voir aussi

Bibliographie

(it) Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
(en) Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.

Arithmétique et théorie des nombres