Fraction dyadique

Intervalle unité subdivisé en 1/128 èmes
Fractions rationnelles dyadiques dans l'intervalle de 0 à 1

En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous forme de fraction avec pour dénominateur une puissance de deux[1]. On peut noter l'ensemble des nombres dyadiques formellement par

Par exemple, 1/2 ou 3/8 sont des fractions dyadiques, mais pas 1/3.

De même que les nombres décimaux sont les nombres qui ont un développement décimal fini[2], les fractions dyadiques sont les nombres qui ont un développement binaire fini.

Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales ; de manière similaire, les divisions habituelles du gallon en demi-gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec le numérateur 1 et des dénominateurs allant jusqu'à 64.

L'ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels ; un nombre réel quelconque x est limite de la suite de rationnels dyadiques ⌊2nx/2n.

Comparé aux autres sous-ensembles denses de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble plutôt « petit » en un certain sens, c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations de topologie comme le lemme d'Urysohn.

La somme, la différence ou le produit de deux fractions dyadiques quelconques est elle-même une fraction dyadique :

Par contre, le quotient d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau du corps ℚ des nombres rationnels. Ce sous-anneau est le localisé de l'anneau ℤ des entiers par rapport à l'ensemble des puissances de deux.

Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.

Solénoïde dyadique

En tant que groupe abélien additif, l'ensemble des rationnels dyadiques est la limite inductive des sous-groupes monogènes infinis

pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité de Pontriaguine, il existe un objet dual, nommément la limite projective du groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée

Le groupe topologique résultant D est appelé le solénoïde dyadique.

Un élément du solénoïde dyadique peut être représenté comme une suite infinie de nombres complexes :

, avec la propriété que chaque qi se place sur le cercle unité et que, pour tous les i > 0,

L'opération de groupe sur ces éléments multiplie deux suites quelconques convenablement.

En tant qu'espace topologique, c'est un continu indécomposable.

Voir aussi

Notes et références

  1. Claire David, « Nombres dyadiques » [PDF], sur hal.science, (consulté le )
  2. « Nombre décimal : Définition simple et facile du dictionnaire », sur www.linternaute.fr (consulté le )
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dyadic rational » (voir la liste des auteurs).