Стала функція

Стала функція y = 4.

У математиці стала функція — це функція, у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення.[1][2][3] Наприклад, функція є сталою функцією, тому що значення дорівнює 4 незалежно від вхідного значення (див. зображення).

Основні властивості

Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму або просто .

Приклад: Функція або просто є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є . Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел ℝ. Область значень цієї функції — тільки {2}. Незалежна змінна x не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме y(0)=2, y(−2.7)=2, y(π)=2,… . Незалежно від того, яке значення x є на вході, вихідним буде «2».
Приклад з реального життя: Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.

Графік сталої функції  — горизонтальна лінія на площині, яка проходить через точку .[4]

Як многочлен від одної змінної x, ненульова стала функція є поліномом степеня 0 і її загальна форма . Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має кореня (нуля). З іншого боку, поліном є тотожно нульовою функцією. Це (тривіальна) стала функція, і кожен x є коренем. Її графік — це вісь x на площині.[5]

Стала функція є парною функцією, тобто графік сталої функції симетричний відносно осі y.

У контексті, де вона визначена, похідна функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0.[6] Часто це пишеться: . Зворотне також вірно. А саме, якщо y'(x)=0 для всіх дійсних чисел x, то y(x) є сталою функцією.[7]

Приклад: Дано сталу функцію . Похідна від y — тотожно нульова функція .

Інші властивості

Для функцій між попередньо впорядкованими множинами, сталі функції є такими, що зберігають порядок і роблять зворотний порядок; і навпаки, якщо f одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо область f — решітка, то f повинна бути сталою.

  • Кожна стала функція, у якої область визначення і область значень є однакові, є ідемпотентною.
  • Кожна стала функція між топологічними просторами є неперервною.
  • Стала функція проходить через одноточкову множину, термінальний об'єкт у категорії множин. Це спостереження є визначальним для аксіоматизації теорії множин Ф. Вільяма Ловера[en], елементарної теорії категорії множин (ETCS).[8]
  • Кожна множина X ізоморфна множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція така, що для всіх . І навпаки, якщо функція задовольняє для всіх , за визначенням є сталою функцією.
    • Як наслідок, одноточкова множина є генератором[en] в категорії множин.
    • Кожна множина канонічно ізоморфна множині функцій , або множині Hom у категорії множин, де 1 — це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, ) категорія множин є замкнутою моноїдною категорією[en] з декартовим добутком множин як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах натуральних в X, ліві та праві одиниці являють собою проєкції і впорядкованих пар і відповідно до елемента , де є унікальною точкою в одноточковій множині.

Функція на зв'язаній множині є локально стала[en] тоді і тільки тоді, коли вона стала.

Примітки

  1. Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. с. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function (PDF). Addison-Wesley. с. 175. Процитовано 12 січня 2014.
  3. Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. с. 313. ISBN 0-8493-9640-9.
  4. Dawkins, Paul (2007). College Algebra. Lamar University. с. 224. Процитовано 12 січня 2014.
  5. Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). 1. Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (вид. 1). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. с. 22. ISBN 978-0078682278.
  6. Dawkins, Paul (2007). Derivative Proofs. Lamar University. Процитовано 12 січня 2014.
  7. Zero Derivative implies Constant Function. Архів оригіналу за 12 січня 2014. Процитовано 12 січня 2014. [Архівовано 2014-01-12 у Wayback Machine.]
  8. Leinster, Tom (27 червня 2011). An informal introduction to topos theory. arXiv:1012.5647 [math.CT].
  • Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).

Посилання