Однорідний многочлен

У математиці однорідний поліном (який іноді називають “quantic“ у старих текстах) — це поліном, в якого усі ненульові члени мають однаковий степінь.[1] Наприклад, ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$ — однорідний поліном ${\displaystyle 5}$-го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює ${\displaystyle 5}$. Поліном ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$ не є однорідним, оскільки сума показників не збігається від члена до члена. Функція, визначена однорідним поліномом, завжди є однорідною функцією.

Алгебраїчна форма або просто форма — це функція, визначена однорідним поліномом.[2] Бінарна форма — це форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.

Поліном степеня ${\displaystyle 0}$ завжди однорідний; це просто елемент поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня ${\displaystyle 1}$ є лінійною формою.[3] Форма степеня ${\displaystyle 2}$ є квадратичною формою. У геометрії евклідова відстань — це квадратний корінь з квадратичної форми.

Однорідні поліноми є широко поширеними в математиці та фізиці.[4] Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки проєктивний алгебраїчний многовид^[en] визначається як множина спільних нулів множини однорідних поліномів.

Властивості

Однорідний поліном визначає однорідну функцію.Це означає, що якщо багатовимірний поліном ${\displaystyle P}$ є однорідним степеня ${\displaystyle d}$, то

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\dots ,x_{n}),\end{aligned}}}$

виконується для будь-якого ${\displaystyle \lambda }$ і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти полінома ${\displaystyle P}$. І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості ${\displaystyle \lambda }$, то поліном є однорідним степеня ${\displaystyle d}$. Зокрема, якщо поліном ${\displaystyle P}$ однорідний, то

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x_{1},\dots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0\end{aligned}}}$

для будь-якого ${\displaystyle \lambda }$. Ця властивість є фундаментальною при визначенні проєктивного многовиду^[en].

Будь-який ненульовий поліном можна єдиним чином розкласти як суму однорідних поліномів з різними степенями, які називаються однорідними компонентами полінома.

Для заданого кільця поліномів ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ над полем (або, у загальному випадку, кільцем) ${\displaystyle K}$ однорідні поліноми степеня ${\displaystyle d}$ утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як ${\displaystyle R_{d}}$. Наведене вище однозначне розкладання означає, що ${\displaystyle R}$ є прямою сумою модулів ${\displaystyle R_{d}}$ (сума за всіма невід'ємними цілими числами).

Розмірність векторного простору (або вільного модуля) ${\displaystyle R_{d}}$ — це кількість різних одночленів степеня ${\displaystyle d}$ з ${\displaystyle n}$ змінними (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня ${\displaystyle d}$ від ${\displaystyle n}$ змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.\end{aligned}}}$

Однорідний поліном задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій. Тобто, якщо ${\displaystyle P}$ є однорідним поліномом степеня ${\displaystyle d}$ від невідомих ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, то маємо (залежно від того, що є комутативним кільцем коефіцієнтів)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}P=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$ означає формальну частинну похідну від ${\displaystyle P}$ відносно ${\displaystyle x_{i}}$.

Гомогенізація

Неоднорідний поліном ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})}$ можна гомогенізувати, ввівши додаткову змінну ${\displaystyle x_{0}}$ і визначивши однорідний поліном, який іноді позначають як ${\displaystyle ^{h}\!P}$:[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle d}$ степінь полінома ${\displaystyle P}$. Наприклад, якщо

${\displaystyle P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

то

${\displaystyle ^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

Гомогенізований поліном можна дегомогенізувати, ввівши додаткову змінну ${\displaystyle x_{0}=1}$. Тобто

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

Див. також

• Мультиоднорідний поліном^[en]
• Квазіоднорідний поліном^[en]
• Діагональна форма^[en]
• Градуйована алгебра
• Многочлен Гільберта
• Полілінійна форма^[en]
• Мультилінійна функція
• Поляризація алгебричної форми^[en]
• Поліном Шура
• Символ диференціального оператора^[en]

Примітки

1. Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal (2005). Using Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Т. 185 (вид. 2nd). Springer. с. 2. ISBN 978-0-387-20733-9.
2. Однак деякі автори не роблять чіткої різниці між поліномом і пов'язаною з ним функцією, терміни однорідний поліном та форма іноді вважаються синонімами.
3. Лінійні форми визначаються лише для скінченновимірного векторного простору, тому їх слід відрізняти від лінійних функціоналів, які визначені для будь-якого векторного простору. “Лінійний функціонал“ рідко використовується для скінченновимірних векторних просторів.
4. Однорідні поліноми у фізиці часто виникають як наслідок методу аналізу розмірностей, де вимірні величини повинні збігатися у реальних задачах.
5. Cox, Little та O'Shea, 2005, с. 35

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Зовнішні посилання

• Weisstein, Eric W. Однорідний многочлен(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.