Факторизація многочленів

Факториза́ція многочле́на — подання многочлена у вигляді добутку многочленів менших степенів.

Основна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен над полем комплексних чисел можна подати у вигляді добутку лінійних многочленів, причому єдиним чином з точністю до сталого множника та порядку слідування співмножників.

Протилежністю факторизації многочленів є їх розширення, перемноження поліноміальних множників для отримання «розширеного» многочлена, записаного у вигляді суми доданків.

Квадратичні многочлени

Ілюстрація многочлена ${\displaystyle x^{2}+cx+d=(x+a)(x+b)}$, де ${\displaystyle a+b}$ дорівнює ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle a\cdot b}$ дорівнює ${\displaystyle d}$.

Будь-який квадратичний многочлен на комплексних числах (многочлени вигляду ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$, де: ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, і ${\displaystyle c}$ ∈ ${\displaystyle \mathbb {C} }$) можна факторизувати виразами вигляду ${\displaystyle a(x-\alpha )(x-\beta )\ }$, використовуючи квадратне рівняння. Цей метод використовують так:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a(x-\alpha )(x-\beta )\\&=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ — два корені многочлена, знайдені при розв'язуванні квадратного рівняння.

Многочлени на цілих числах

${\displaystyle (mx+p)(nx+q),}$

де:

${\displaystyle mn=a,\ pq=c}$

і

${\displaystyle pn+mq=b.}$

Можна кожен двочлен прирівняти до нуля і знайти для ${\displaystyle x}$ два корені. При факторизації достатньо використати саме ці формули для розв'язування квадратного рівняння. Візьмемо для прикладу рівняння ${\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0}$. Оскільки ${\displaystyle a=2}$ і ${\displaystyle mn=a}$, ${\displaystyle mn=2}$, що означає, що ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ дорівнюють 1 і 2. Тепер ми маємо ${\displaystyle (2x+p)(x+q)=0}$. Оскільки ${\displaystyle c=2}$ і ${\displaystyle pq=c}$, ${\displaystyle pq=2}$, що означає, що p і q дорівнюють 1 і 2, або один з них −1, а інший −2. Підставляючи 1 та 2, або −1 і −2 замість p і q (оскільки ${\displaystyle pn+mq=b}$), бачимо, що ${\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0}$ факторизується в ${\displaystyle (2x-1)(x-2)=0}$, даючи корені ${\displaystyle x=\{0,5;2\}}$.

Зауваження: швидкий спосіб визначення, чи є другий член додатним, чи від'ємним (як у наведеному прикладі, 1 і 2 чи − 1 і − 2) полягає у перевірці другої операції тричлена (+ чи −). Якщо стоїть +, то перевіряємо першу операцію: якщо вона теж +, член буде додатним, а якщо операція −, то член буде від'ємним. Якщо друга операція − то один член буде додатним, другий — від'ємним. Така перевірка є єдиним способом визначення який член буде додатним, а який від'ємним.

Якщо многочлен із цілими коефіцієнтами має дискримінант, який є повним квадратом, то многочлен факторизується цілими числами.

Розглянемо, наприклад, поліном ${\displaystyle 2x^{2}+2x-12}$. Якщо підставити значення у квадратичну формулу, то дискримінант ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ буде ${\displaystyle 2^{2}-4\cdot 2\cdot (-12)}$ і дорівнює 100. Число 100 є повним квадратом, тому поліном ${\displaystyle 2x^{2}+2x-12}$ факторизується цілими числами; ці фактори дорівнюють 2, ${\displaystyle (x-2)}$ та ${\displaystyle (x+3)}$.

Тепер розглянемо поліном ${\displaystyle x^{2}+93x-2}$. Його дискримінант ${\displaystyle 93^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)}$ дорівнює 8657, що не є повним квадратом. Тому вираз ${\displaystyle x^{2}+93x-2}$ неможливо факторизувати цілими числами.

Повний квадратний тричлен

Ілюстрація ідентичності ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

Деякі квадратні тричлени можна факторизувати двома однаковими двочленами. Їх називають повними квадратними тричленами. Повний квадратний тричлен можна факторизувати так:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2},}$

і

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}.}$

Сума/різниця двох квадратів

Інший загальний метод алгебричної факторизації називають різницею двох квадратів. Він полягає у застосуванні формули

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),}$

У випадку додавання обидва двочлени матимуть уявний член:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi).}$

Наприклад, ${\displaystyle 4x^{2}+49}$ можна факторизувати як ${\displaystyle (2x+7i)(2x-7i)}$.

Групування

Ще одним методом розкладання на множники деяких многочленів є факторизація групованням.

Факторизація групуванням робиться шляхом розташування членів многочлена на дві або більше груп, кожну з яких можна факторизувати відомим способом. Результати цих факторизацій іноді можна скомбінувати так, щоб отримати простіший вираз. Наприклад, щоб факторизувати многочлен

${\displaystyle 4x^{2}+20x+3yx+15y}$,

згрупуємо подібні члени: ${\displaystyle (4x^{2}+20x)+(3yx+15y)}$,

факторизуємо через найбільший спільний дільник ${\displaystyle 4x(x+5)+3y(x+5)}$

і факторизуємо на біноми ${\displaystyle (x+5)(4x+3y)}$

AC метод

Якщо квадратний тричлен має корені на раціональних числах, можна знайти p і q такі, що ${\displaystyle pq=ac}$ і ${\displaystyle p+q=b}$. (Якщо дискримінант є квадратом числа, то вони існують, інакше ми матимемо ірраціональні або комплексні корені, і припущення про раціональний корінь є неприпустимим.)

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&={\frac {a^{2}x^{2}+abx+ac}{a}}&={\frac {(ax+p)(ax+q)}{a}}\end{aligned}}}$

Верхні члени будуть мати спільні фактори, які можна використати для позбавлення від знаменника, якщо він не дорівнює 1. Як приклад розглянемо квадратичний многочлен

${\displaystyle {\begin{aligned}6x^{2}+13x+6\end{aligned}}}$

Перевірка факторів ${\displaystyle ac=36}$ приводить до ${\displaystyle 4+9=13=b}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}6x^{2}+13x+6&={\frac {(6x+4)(6x+9)}{6}}\\&={\frac {2(3x+2)(3)(2x+3)}{6}}\\&=(3x+2)(2x+3)\end{aligned}}}$

Інші многочлени

Сума/різниця двох кубів

Виконаємо факторизацію суми та різниці двох кубів. Суму двох кубів можна подати у вигляді:

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),}$

а різницю:

${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).}$

Наприклад, ${\displaystyle x^{3}-10^{3}}$ (або ${\displaystyle x^{3}-1000}$) можна факторизувати у вигляді: ${\displaystyle (x-10)(x^{2}+10x+100)}$.

Див. також

• Факторизація
• Формули скороченого множення

Джерела

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)