Формула тринома

Піраміда Паскаля, грані — Тернарна діаграма, трикутне число доданків.

Формула тринома — в математиці, формула натурального степеня для суми трьох одночленів.

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{{i,j,k} \atop {i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},}$

сума береться по всіх комбінаціях невід'ємних i, j, k таких, що i + j + k = n.[1] Триноміальні коефіцієнти дорівнюють:

${\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.}$

Формула є частковим випадком формули мультинома для m = 3. Коефіцієнти можна рахувати із узагальнення трикутника Паскаля — піраміди Паскаля.[2]

Рекурсія

Коефіцієнти можна порахувати, застосувавши біном Ньютона двічі, після заміни ${\displaystyle d=b+c}$, порахуємо біноміальні коефіцієнти

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{n}&=(a+d)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,d^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,(b+c)^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,\sum _{s=0}^{r}{r \choose s}\,b^{r-s}\,c^{s}.\end{aligned}}}$

На наступному розгорнемо порахуємо ${\displaystyle (b+c)^{r}}$.

Спростимо запис для добутку біноміальних коефіцієнтів:

${\displaystyle {n \choose r}\,{r \choose s}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}{\frac {r!}{s!(r-s)!}}={\frac {n!}{(n-r)!(r-s)!s!}},}$

і перейменуємо ${\displaystyle i=n-r,~j=r-s,~k=s}$.

Властивості

Число доданків буде трикутним числом

${\displaystyle t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},}$

Приклад

• ${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}$

Див. також

• Біном Ньютона
• Теорема мультинома
• Формули скороченого множення

Примітки

1. Koshy, Thomas (2004), Discrete Mathematics with Applications, Academic Press, с. 889, ISBN 9780080477343.
2. Harris, John; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael (2009), Combinatorics and Graph Theory, Undergraduate Texts in Mathematics (вид. 2nd), Springer, с. 146, ISBN 9780387797113.