Лінійна алгебрична група

У математиці, лінійною алгебричною групою називається підгрупа групи оборотних матриць розмірності n×n (з операцією множення матриць), що задається поліноміальними рівняннями. Еквівалентно лінійною алгебричною групою називається афінний многовид, що одночасно є групою операції на якій є морфізмами афінних многовидів. Еквівалентність двох означень є одним з найважливіших результатів теорії цих груп.

Головними прикладами лінійних алгебричних груп є деякі класичні групи Лі, для яких поле є дійсним чи комплексним полем. Наприклад, будь-яка компактна група Лі може розглядатися як група дійсних точок дійсної лінійної алгебричної групи, завдяки теоремі Петера — Вейля.

Теорія лінійних алгебричних груп значно залежить від поля над яким ці групи задані, як афінні многовиди. Для алгебрично замкнутих полів (особливо характеристики 0) лінійні алгебричні властивості мають багато спільного з групами Лі. Для довільних полів теорія є складнішою і не настільки добре вивченою. У перших розділах статті описуються властивості для алгебрично замкнутих полів.

Історія

Теорія лінійних алгебричних груп виникла з потреб розв'язування лінійних диференціальних рівнянь в квадратурі (так звана теорія Галуа диференціальних рівнянь) наприкінці 19 століття у працях Софуса Лі, Людвіга Маурера, Вільгельма Кіллінга, Елі Картана і початкове вивчення лінійних алгебричних груп над полем комплексних чисел проводилося по аналогії з теорією груп Лі методом алгебр Лі. Лінійна алгебрична група ${\displaystyle G}$ над полем комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ може розглядатися як аналітична підгрупа групи ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$.

Методи теорії алгебричних груп і алгебр Лі в середині 20 століття були істотно вдосконалені і узагальнені Клодом Шевальє, що дозволило йому застосувати їх до вивчення лінійних алгебричних груп над довільними полями нульової характеристики. Для полів ненульової характеристики метод алгебр Лі є менш ефективним, так що природно виникла необхідність глобального дослідження лінійних алгебричних груп з допомогою методів алгебричної геометрії. Основи глобального дослідження лінійних алгебричних груп були закладені Арманом Борелем.

Означення

Лінійна алгебрична група є за означенням, афінним алгебричним многовид G на якому задані два морфізми

${\displaystyle \mu :G\times G\to G,i:G\to G}$

що задовольняють звичні аксіоми групи.

Гомоморфізм груп (як абстрактних груп), що є також морфізмом алгебричних многовидів, називається гомоморфізмом алгебричних груп. Підгрупа (у розумінні абстрактної теорії груп) лінійної алгебричної групи, що є також замкнутою множиною у топології Зариського має структуру лінійної алгебричної групи і називається підгрупою лінійної алгебричної групи.

Багато базових понять абстрактної теорії груп можна ввести також і для лінійних алгебричних груп. Наприклад, нормалізатор, центр, і централізатор замкнутої підгрупи H деякої лінійної алгебричної групи G є також замкнутими і тому лінійними алгебричними групами.

Еквівалентно означення лінійної алгебричної групи можна дати за допомогою структури алгебри Гопфа (тобто алгебр із додатковою узгодженою коалгебричною структурою) на координатній алгебрі ${\displaystyle A=k[G]}$. Групові операції, як морфізми афінних многовидів тоді визначають на координатній алгебрі операції ${\displaystyle \Delta :A\mapsto A\otimes _{k}A}$ і ${\displaystyle i:A\mapsto A}$, а одиничний елемент задає гомоморфізм ${\displaystyle e:A\mapsto k}$.

Задані таким чином відображення задовольняють властивості комноження, антипода і коодиниці і разом з операціями у алгебрі ${\displaystyle A=k[G]}$ утворюють структуру алгебри Гопфа на ${\displaystyle k[G]}$. Навпаки якщо на деякій скінченнопородженій цілісній редукованій алгебрі над полем задана структура алгебри Гопфа, то розглядаючи відповідний афінний многовид морфізми, що відповідають комноженню і антиподу і елемент, що відповідає коодиниці будуть множенням, обертанням і одиницею групи. Відповідно многовид буде лінійною алгебричною групою.

Іншими словами функтор ${\displaystyle G\mapsto k[G]}$, що ставить у відповідність лінійній алгебричній групі її координатну алгебру задає еквівалентність категорій лінійних алгебричних груп і алгебр Гопфа.

Приклади

• Група ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=GL_{1}}$ називається мультиплікативною групою. Алгеброю Гопфа мультиплікативної групи ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ є ${\displaystyle k[X,X^{-1}]}$ з комноженням заданим як ${\displaystyle X\mapsto X\otimes X}$, антиподом ${\displaystyle X\mapsto X^{-1}}$ і коодиницею ${\displaystyle X\mapsto 1}$.
• Група ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ елементів k (з операцією додавання), що називається адитивною групою може також бути записана як матрична група, елементами якої є матриці виду:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Алгеброю Гопфа адитивної групи ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ є ${\displaystyle k[X]}$ з комноженням заданим як ${\displaystyle X\mapsto X\otimes 1+1\otimes X}$, антиподом ${\displaystyle X\mapsto -X}$ і коодиницею ${\displaystyle X\mapsto 0}$.

• Загальна лінійна група ${\displaystyle GL_{n}(k)}$, що складається з оборотних квадратних матриць розмірності n над полем k є лінійною алгебричною групою. Вона є афінним многовидом оскільки множина ${\displaystyle GL_{n}}$ є головною відкритою множиною, що є доповненням замкнутої множини ${\displaystyle V(\det(X))}$ і згідно теорії алгебричних многовидів головні відкриті множини є афінними многовидами. Множення матриць є поліноміальною операцією від елементів матриць і обернена матриця є поліноміальною операцією від елементів матриць і ${\displaystyle {\frac {1}{\det(X)}}}$. Тому і множення матриць і обертання матриці є морфізмами афінних многовидів.

Координатна алгебра цієї групи рівна ${\displaystyle A=k[GL_{n}]=k[X_{ij},(\det(X))^{-1}]}$, де ${\displaystyle X_{ij}}$ — координатні функції на матриці. Комноження задається на базисних елементах як ${\displaystyle \Delta (X_{ij})=\sum _{h=1}^{n}X_{ih}\otimes X_{hj}}$, а значенням антипода ${\displaystyle i(X_{ij})}$ - ${\displaystyle (i,j)}$ — елемент матриці ${\displaystyle X^{-1}}$. Коодиниця на базисних елементах задається як ${\displaystyle e(X_{ij})=\sigma _{ij}}$.

• Будь-які замкнуті (в топології Зариського) підгрупи загальної лінійної групи є лінійними алгебричним (і навпаки всі лінійні алгебричні групи мають такий вид). Важливими прикладами є зокрема скінченні групи, невироджені діагональні матриці ${\displaystyle D_{n}(k)}$, спеціальні лінійні групи ${\displaystyle SL_{n}(k)}$, ортогональні групи ${\displaystyle O_{n}(k)}$, спеціальні ортогональні групи ${\displaystyle SO_{n}(k)}$, симплектичні групи ${\displaystyle Sp_{n}(k)}$, верхні трикутні матриці ${\displaystyle T_{n}(k)}$ і уніпотентні верхні трикутні матриці ${\displaystyle U_{n}(k)}$, тобто матриці виду

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots *\\0&1&\ddots &*\\\dots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)}$.

Основні властивості

• Для будь-якої алгебричної групи G, що є афінним многовидом з узгодженою структурою існує точне лінійне представлення V, що також є морфізмом многовидів, тобто, G є замкнутою підгрупою ${\displaystyle GL_{n}(k)}$. Таким чином два можливих означення цих груп, як афінних многовидів і замкнутих (в топології Зариського) підгруп загальної лінійної групи є еквівалентними.
• Лінійна алгебрична група є незвідною тоді і тільки тоді коли вона є зв'язаною.
• У лінійній алгебричній групі G існує єдина компонента одиниці ${\displaystyle G^{\circ }}$, тобто компонента зв'язності що містить одиничний елемент алгебричної групи G. ${\displaystyle G^{\circ }}$ є нормальною підгрупою скінченного індексу. Будь-яка замкнута підгрупа скінченного індексу групи ${\displaystyle G}$ містить компоненту одиниці.
• Ядро гомоморфізму лінійних алгебричних груп є замкнутою нормальною підгрупою. Образ гомоморфізму є замкнутою підгрупою. Образ компоненти одиниці при гомоморфізмі лінійних груп буде рівним компоненті одиниці образу гомоморфізму.
• Нехай ${\displaystyle G}$ — лінійна алгебрична група і ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ — множина її замкнутих зв'язаних підгруп. Тоді підгрупа ${\displaystyle H}$ породжена цією множиною підгруп буде замкнутою і зв'язаною і існує така скінченна підмножина з цих підгруп (позначимо їх ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{n}}$) що ${\displaystyle H=G_{1}G_{2}\cdot \ldots \cdot G_{n}}$.
• Нехай ${\displaystyle G}$ — лінійна алгебрична група і ${\displaystyle \rho }$ — її представлення як підгрупи ${\displaystyle GL_{n}(k)}$. Тоді для кожного елемента ${\displaystyle g\in G}$ існують єдині елементи ${\displaystyle g_{s}\in G}$ і ${\displaystyle g_{u}\in G}$ такі, що ${\displaystyle g=g_{u}g_{s}=g_{s}g_{u}}$ і також ${\displaystyle \rho (g_{s})=\rho (g)_{s}\;\rho (g_{u})=\rho (g)_{u}}$, де ${\displaystyle \rho (g)_{s},\rho (g)_{u}}$ позначають напівпросту і уніпотентну компоненти розкладу Жордана — Шевальє відповідних ендоморфізмів. До того ж елементи ${\displaystyle g_{s},g_{u}}$ не залежать від вибору ${\displaystyle \rho }$ і якщо ${\displaystyle \varphi :G\to G'}$ — гомоморфізм лінійних алгебричних груп то також ${\displaystyle \varphi (g_{s})=\varphi (g)_{s}\;\varphi (g_{u})=\varphi (g)_{u}}$. Елементи ${\displaystyle g_{s},g_{u}}$ називаються напівпростою і уніпотентною частинами елемента групи. Елементи групи називаються напівпростими і унівалентними, якщо вони рівні, відповідно, своїй напівпростій і унівалентній частині. Якщо ${\displaystyle G=GL_{n}(k)}$, то ${\displaystyle g_{s},g_{u}}$ є напівпростою і уніпотентною компонентами розкладу Жордана — Шевальє.

Алгебра Лі групи G

Алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ алгебричної групи G може бути описана кількома еквівалентними способами: як дотичний простір ${\displaystyle T_{e}(G)}$ в одиничному елементі або як простір лівоінваріантних диференціювань, тобто, диференціювань ${\displaystyle \partial :k[G]\to k[G]}$ координатного кільця G для яких

${\displaystyle \partial \lambda _{x}=\lambda _{x}\partial ,}$

де ${\displaystyle \lambda _{x}:k[G]\to k[G]}$ є лівим множенням для елемента ${\displaystyle x\in G}$.

Для фіксованого ${\displaystyle x\in G}$ диференціювання спряження ${\displaystyle \mu :G\to G,g\mapsto xgx^{-1}}$ називається приєднаним представленням:

${\displaystyle Ad:G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

Зв'язок між алгебричною групою G і її алгеброю Лі k є особливо тісним для полів характеристики нуль.

У цьому випадку замкнута зв'язана підгрупа H лінійної алгебричної групи G однозначно визначається своєю підалгеброю Лі ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$.

Натомість не кожна підалгебра Лі відповідає якійсь лінійній алгебричній групі. Наприклад у випадку загальної лінійної групи порядку n у алгебрично замкнутому полі її алгеброю Лі є алгебра усіх ендоморфізмів n-вимірного векторного простору (чи еквівалентно усіх квадратних матриць порядку n). При цих умовах підалгебра Лі буде алгебричною (тобто алгеброю Лі деякої лінійної алгебричної групи) тоді і тільки тоді коли разом з елементом ${\displaystyle v}$ цій алгебрі також належать елементи ${\displaystyle v_{s}}$ і ${\displaystyle v_{n}}$ (де ${\displaystyle v_{s},v_{n}}$ - напівпроста і нільпотентна компоненти адитивного розкладу Жордана — Шевальє) і якщо діагоналізація напівпростого ендоморфізму має вигляд ${\displaystyle v_{s}=diag(s_{1},\ldots ,s_{m})}$ то алгебрі також належать усі ендоморфізми виду ${\displaystyle diag(\Phi (s_{1}),\ldots ,\Phi (s_{m}))}$, де ${\displaystyle \Phi }$ — деяке ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-лінійне відображення базового поля k.

У випадку полів додатної характеристики різним зв'язаним підгрупам може відповідати одна алгебра Лі.

Основні типи груп і підгруп і класифікація

Тори і діагоналізовні групи

Група що є ізоморфною ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}^{n}}$, (добутку n копій мультиплікативної групи, називається алгебричним тором. Зокрема, група ${\displaystyle D_{n}}$ діагональних матриць розмірності n є тором.

Для лінійної алгебричної групи ${\displaystyle G}$ підгрупа називається максимальним тором, якщо вона є алгебричним тором і не є власною підмножиною жодного іншого тора. Наприклад підгрупа діагональних матриць ${\displaystyle D_{n}}$ є максимальним тором групи усіх невироджених матриць розмірності n. Усі максимальні тори є спряженими підгрупами. Розмірність максимальних торів називається рангом алгебричної групи.

Алгебричні групи що є ізоморфними замкнутій підгрупі ${\displaystyle D_{n}}$ називаються діагоналізовними. Ці групи визначаються своїми характерами , тобто, гомоморфізмами алгебричних груп

${\displaystyle \chi :G\to \mathbf {G} _{m}.}$

Множина таких характерів ${\displaystyle X(G)}$ є абелевою групою для будь-якої G. Зіставлення

${\displaystyle G\mapsto X(G)}$

задає еквівалентність категорій діагоналізовних алгебричних груп і абстрактних абелевих групи без p-кручення, де p є характеристикою поля k.

Для будь-якої (не обов'язково діагоналізовної) G, група ${\displaystyle Y(G):=\operatorname {Hom} (\mathbf {G} _{m},G)}$ кохарактерів є двоїстою групі ${\displaystyle X(G)}$ характерів.

Діагоналізовна група є прямим добутком тора і скінченної абелевої групи порядок якої є числом взаємно простим із характеристикою основного поля. При цьому вона є тором тоді і тільки тоді коли вона є зв'язаною.

Розв'язні групи і підгрупи Бореля

Лінійна алгебрична група називається розв'язною, якщо вона є розв'язною як абстрактна група. Згідно теореми Лі — Колчина будь-яка зв'язна розв'язна група (якщо її розглядати як замкнуту підгрупу загальної лінійної групи) є спряженою деякій підгрупі ${\displaystyle T_{n}(k)}$.

Згідно теорема Бореля про фіксовану точку зв'язана розв'язна група G що діє на непустому повному алгебричному многовиді X має точку x що фіксується усіма ${\displaystyle g\in G}$.

Важливими для вивчення і класифікації лінійних алгебричних груп є підгрупи Бореля, тобто, максимальні зв'язні нормальні розв'язні підгрупи. Наприклад, підгрупою Бореля групи ${\displaystyle GL_{n}(k)}$ є підгрупа ${\displaystyle T_{n}(k)}$ верхніх трикутних матриць (для яких всі елементи нижче діагоналі є рівними нулю). Підгрупи Бореля B G дозволяють звести деякі питання про алгебричні групи до розв'язних груп. Наприклад, будь-який тор T міститься в деякій підгрупі Бореля B. Кожен елемент групи теж належить деякій підгрупі Бореля.

Для підгрупи H групи G, на фактор-просторі G/H можна ввести структуру алгебричного многовида. Підгрупи Бореля є мінімальними серед підгруп для яких цей фактор-простір є проєктивним многовидом, тобто, ізоморфним замкнутій множині в деякому ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$.

Підгрупи G що містять підгрупу Бореля називаються параболічними. Наприклад, параболічними підгрупами групи ${\displaystyle GL_{3}(k)}$ що містять підгрупу Бореля ${\displaystyle T_{3}(k)}$ є

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$ і ${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

Уніпотентні групи

Ще одним важливим прикладом є підгрупа ${\displaystyle U_{n}(k)\subset T_{n}(k)}$ де усі діагональні елементи є рівними 1. Матриці A у цій групі є уніпотентними, тобто, ${\displaystyle A-{\text{id}}}$ є нільпотентними. Група ${\displaystyle T_{n}(k)}$ є напівпрямим добутком груп ${\displaystyle U_{n}}$ і ${\displaystyle D_{n}}$. Більш загально, будь-яка зв'язна розв'язна група G є напівпрямим добутком

${\displaystyle G=T\ltimes G_{u}}$

де T — максимальний тор і ${\displaystyle G_{u}}$ — підгрупа уніпотентних елементів.

Напівпроста і редуктивна групи

Радикалом R(G) лінійної алгебричної групи G називається максимальна зв'язна розв'язна підгрупа G. Пов'язаним є поняття уніпотентного радикалу ${\displaystyle R_{u}(G)}$ що складається з уніпотентних елементів ${\displaystyle R(G)}$. Якщо підгрупа ${\displaystyle R(G)}$ (відповідно ${\displaystyle R_{u}(G)}$) є тривіальною, то G називається напівпростою (відповідно редуктивною). Наприклад, радикал ${\displaystyle GL_{n}(k)}$ є рівним центру (що є ізоморфним ${\displaystyle G_{m}}$) і не містить уніпотентних елементів за винятком 1, тож ${\displaystyle GL_{n}}$ є редуктивною групою. Подібним чином доводиться, що ${\displaystyle SL_{n}(k)}$ є напівпростою групою.

Класифікація лінійних алгебричних груп

Класифікація лінійних алгебричних груп в основному зводиться до класифікації для двох типів лінійних алгебричних груп: напівпростих і розв'язних. Фундаментальним результатом є класифікація Клодом Шевальє напівпростих (і, більш загально, редуктивних) лінійних алгебричних груп над алгебрично замкнутими полями довільної характеристики. Ця класифікація аналогічна класифікації Картана — Кіллінга комплексних напівпростих груп Лі. Класифікація Шевальє ґрунтується на тому, що для напівпростих алгебричних груп будуються аналоги елементів теорії Картана — Кіллінга — підгрупа Картана (що за означенням рівна централізатору максимального тора), корені і т. д. Важливу роль при цьому відіграють підгрупи Бореля і максимальні алгебричні тори.

Нехай ${\displaystyle G}$ — напівпроста лінійна алгебрична група, ${\displaystyle T}$ — її максимальний тор, ${\displaystyle N_{G}(T)}$ — нормалізатор ${\displaystyle T}$ у ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle W=N_{G}(T)/T}$ — група Вейля групи ${\displaystyle G}$. Тор T міститься лише в скінченній кількості підгруп Бореля групи ${\displaystyle G}$, які транзитивно переставляються спряженням елементами з ${\displaystyle N_{G}(T)}$. За допомогою підгруп Бореля, що містять ${\displaystyle T}$, будуються мономорфізми адитивної групи поля в підгрупи Бореля (що містять ${\displaystyle T}$), які відіграють роль коренів. За допомогою техніки розкладів Брюа доводиться, що зазначена система структурних елементів допускає повну класифікацію і визначає групу ${\displaystyle G}$ з точністю до ізоморфізму. Остаточна класифікація напівпростих груп не залежить від характеристики основного поля і тому збігається з класифікацією комплексних напівпростих алгебричних груп.

Теорія для загальних полів

Теорія лінійних алгебричних груп над полем k, що не є алгебрично замкнутим є складнішою, ніж у випадку алгебрично замкнутого. Наприклад, у цьому випадку є важливі відмінності між k-розкладними торами (що є ізоморфними ${\displaystyle G_{m}}$ над полем k) і торами, що не розкладаються. Останні розкладаються після переходу до скінченного розширення поля k.

Якщо у групі немає максимальних торів, що розкладаються, важливим є дослідження k-розкладних торів і максимальних елементів серед них. У разі довільного поля k максимальні k-розкладні тори відіграють роль, аналогічну ролі максимальних алгебричних торів в групі G над алгебрично замкнутим полем. Максимальні k-розкладні тори в ${\displaystyle G}$ є спряженими. Якщо у групі є розщеплений тор розмірності принаймні 1 то група називається ізотропною. В іншому випадку вона називається анізотропною. k-ізотропність для напівпростої групи G еквівалентна тому, що група G має неодиничні уніпотентні елементи.

Роль підгрупи Бореля в разі довільного поля до відіграє мінімальна параболічна k-підгрупа, тобто мінімальна k-визначена підгрупа G, що містить підгрупу Бореля. Природно означається коренева система щодо максимального k-розкладного тора в G і відповідна група Вейля. Якщо група ${\displaystyle G}$ має k-розкладний максимальний тор, то ці структурні елементи не залежать від поля k і визначають такі групи з точністю до k-ізоморфізмів. Групи, які мають k-розкладні максимальні тори, називаються k-розкладними, або групами Шевальє.

Застосування

Дія групи і геометрична теорія інваріантів

В алгебричній геометрії часто важливою є дія лінійної алгебричної групи на алгебричному многовиді

${\displaystyle G\times X\to X.}$

Такі дії на практиці часто виникають коли G є деякою групою автоморфізмів; Наприклад ${\displaystyle GL_{n}}$ є групою усіх автоморфізмів n-вимірного векторного простору, а ортогональна група, групою автоморфізмів, що не змінюють скалярний добуток.

Якщо G є уніпотентною і X афінним многовидом, то кожна G-орбіта ${\displaystyle Gx}$ є замкнутою.

Об'єктом геометричної теорії інваріантів є вивчення фактор-простору

${\displaystyle G\backslash X}$

G-дії на X. Загалом цей фактор-простір може не бути алгебричним многовидом оскільки кільце (для афінного многовида X)

${\displaystyle (k[X])^{G}}$

G-інваріантних функцій на X може не бути скінченнопородженим. Згідно теореми Габуша проте це кільце є скінченнопородженим якщо G є редуктивною групою; зокрема це справедливо для групи ${\displaystyle G=GL_{n}}$, що було доведено Гільбертом.

Див. також

• Алгебра Лі
• Алгебрична група
• Алгебричний многовид
• Група Лі
• Група (математика)
• Загальна лінійна група
• Розклад Жордана — Шевальє
• Уніпотентний елемент

Література

• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
• Borel, Armand; Tits, Jacques (1965), Groupes réductifs, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 27: 55—150, MR 0207712, архів оригіналу за 5 червня 2011, процитовано 28 грудня 2017
• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups, Springer Nature, ISBN 0-387-13678-9, MR 0781344
• Conrad, Brian (2014), Reductive group schemes, Autour des schémas en groupes (PDF), т. 1, Paris: Société Mathématique de France, с. 93—444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR 3309122, архів оригіналу (PDF) за 9 вересня 2020, процитовано 28 грудня 2017
• Deligne, Pierre; Milne, J. S. (1982), Tannakian categories, Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, Lecture Notes in Mathematics, т. 900, Springer Nature, с. 101—228, ISBN 3-540-11174-3, MR 0654325, архів оригіналу за 23 грудня 2017, процитовано 28 грудня 2017
• Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773
• Kolchin, E. R. (1948), Algebraic matric groups and the Picard–Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations, Annals of Mathematics, Second Series, 49: 1—42, doi:10.2307/1969111, ISSN 0003-486X, MR 0024884
• Milne, J. S. (2017), Algebraic Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-1107167483
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713