Ядро та образ лінійного оператора

В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора ${\displaystyle \ L:V\to W}$

Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина ${\displaystyle \ V}$:

${\displaystyle \ker {(L)}=\{v\in V:\;L(v)=0\}}$

вона утворює лінійний підпростір в просторі ${\displaystyle \ V.}$

Образом лінійного відображення називається наступна підмножина ${\displaystyle \ W}$:

${\displaystyle \operatorname {im} (L)=\{w\in W:\;w=L(v),v\in V\}}$

вона утворює лінійний підпростір в просторі ${\displaystyle \ W.}$

Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають: ${\displaystyle \operatorname {null} (L).}$

Властивості

• Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:

${\displaystyle L(v)=L(w)\quad \iff \quad (v-w)\in \ker {(L)}.}$

Тобто образ L є ізоморфним до фактор-простору в V утвореного ядром:

${\displaystyle {\text{im}}(L)\cong V/\ker(L){\text{.}}}$

(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).

• Якщо в V визначений скалярний добуток, тоді V / ker(L) може бути представленим як ортогональне доповнення до ker(L) в V.

Простори скінченної розмірності і матриці

Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n: ${\displaystyle v\mapsto \mathbf {A} v.}$

Визначення ядра матриці записується як ${\displaystyle \ker {(\mathbf {A} )}=\{x\in V:\;\mathbf {A} x=0\}}$, тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.

Rank-nullity теорема

Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):

${\displaystyle \dim(\ker {L})+\dim(\operatorname {im} {\,L})=\dim(V)}$

Число ${\displaystyle \dim(\operatorname {im} {\,L})}$ називається рангом ${\displaystyle \ L}$ і записується як ${\displaystyle \operatorname {rank} {(L)}}$ чи ${\displaystyle \operatorname {rk} {(L)}.}$

Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Основна теорема лінійної алгебри

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	n — r
простір рядків чи кообраз(Coimage^[en])	im(A^T) чи range(A^T)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	r
лівий нульпростір чи коядро	ker(A^T) чи null(A^T)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$	m — r

• В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;\;\ker {(A)}=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }}$, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
• В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\;\;\ker {(A^{T})}=(\mathrm {im} (A))^{\perp }}$, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Див. також

• Проєкційна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)