Уніпотентна матриця

Уніпотентна матриця — квадратна матриця, що рівна сумі одиничної і нільпотентної матриць. Уніпотентні матриці є уніпотентними елементами у кільці квадратних матриць.

Важливість уніпотентних матриць значною мірою пояснюється наявністю розкладу Жордана — Шевальє для довільної невиродженої квадратної матриці над досконалим полем. Зважаючи на наявність цього розкладу і його узагальнень, уніпотентні матриці відіграють важливу роль у теорії представлення груп і теорії груп Лі і алгебричних груп.

Означення

Квадратна матриця ${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ над кільцем з одиницею ${\displaystyle R}$ називається уніпотентною, якщо матриця ${\displaystyle A-I}$ є нільпотентною, інакше кажучи, якщо

${\displaystyle (A-I)^{m}=0}$

для деякого ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$. Уніпотентні матриці є уніпотентними елементами у кільці ${\displaystyle R^{n\times n}}$.

Лінійний оператор на векторному просторі, матриця якого в довільному базисі є уніпотентною називається уніпотентним лінійним оператором.

Приклади

Простим прикладом уніпотентної матриці є матриця

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$,

для якої

${\displaystyle (A-I)^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$.

Більш загальним прикладом є верхні трикутні матриці, для яких елементи на головній діагоналі усі рівні 1, тобто матриці виду

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-1,n}\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}}$.

Усі такі матриці є уніпотентними, оскільки ${\displaystyle (A-I)^{n}=0}$. Також усі матриці подібні до матриці ${\displaystyle A}$ є уніпотентними оскільки

${\displaystyle (S^{-1}AS-I)^{n}=S^{-1}(A-I)^{n}S=0}$

для довільної невиродженої матриці ${\displaystyle S\in R^{n\times n}}$. Звідси зокрема випливає, що якщо матриця лінійного оператора є уніпотентною в деякому базисі векторного простору, то вона є уніпотентною в довільному іншому базисі і означення уніпотентного лінійного оператора є коректним.

Навпаки, матриця над довільним полем є уніпотентною, тоді і тільки тоді коли вона є подібною верхній трикутній матриці з одиничною головною діагоналлю. До того ж для будь-якої множини уніпотентних матриць, що утворюють групу щодо операції множення матриць, матрицю ${\displaystyle S}$, що визначає подібність з верхніми трикутними матрицями можна обрати одну для всіх матриць групи.

Властивості

Власні значення

Квадратна матриця ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ над полем ${\displaystyle K}$ є уніпотентною, коли її характеристичний многочлен має вигляд

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=(\lambda -1)^{n}}$

Іншими словами всі власні значення матриці рівні ${\displaystyle 1}$ sind.

Розклад Жордана — Шевальє

Кожна невироджена матриця ${\displaystyle A}$ над досконалим полем ${\displaystyle K}$ може бути записана у виді розкладу Жордана — Шевальє:

${\displaystyle A=D\cdot U=U\cdot D}$,

де матриця ${\displaystyle D}$ є напівпростою (для алгебрично замкнутих полів — діагоналізовною), а ${\displaystyle U}$ — уніпотентною. Такий розклад завжди є єдиним.[1]

Степені, добутки і обернена матриця

Степінь уніпотентної матриці ${\displaystyle A^{k}}$ над довільним полем теж є уніпотентною матрицею. Її можна записати через степені нільпотентної матриці:

${\displaystyle A^{k}=(I+N)^{k}=I+kN+{\frac {k(k-1)}{2}}N^{2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots (k-m+2)}{(m-1)!}}N^{m-1}}$

де ${\displaystyle N}$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$.

Зокрема звідси отримуємо, що над полем характеристики ${\displaystyle p>0}$ матриця ${\displaystyle A}$ є уніпотентною тоді і тільки тоді коли для всіх достатньо великих ${\displaystyle s>0}$ справедливою є рівність ${\displaystyle A^{p^{s}}=I.}$

Більш загально, добуток двох комутуючих уніпотентних матриць над полем є уніпотентною матрицею.

Для матриць над довільним кільцем з одиницею уніпотентна матриця ${\displaystyle A=I+N}$ завжди має обернену матрицю рівну:

${\displaystyle A^{-1}=I-N+N^{2}+\ldots +(-1)^{m-1}N^{m-1}}$

де ${\displaystyle N}$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$. Обернена матриця теж є уніпотентною.

Логарифм і експонента

Логарифм уніпотентної матриці є нільпотентною матрицею, яка рівна:

${\displaystyle \log A=\log(I+N)=N-{\frac {N^{2}}{2}}+{\frac {N^{3}}{3}}+\ldots +(-1)^{m-1}{\frac {N^{m-1}}{m-1}}}$

де ${\displaystyle N}$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$.

Також для логарифму і експоненти матриці справедливою є рівність[2]

${\displaystyle e^{\log A}=A}$.

Навпаки, експонента нільпотентної матриці ${\displaystyle N}$ є уніпотентною матрицею і [2]

${\displaystyle \log e^{N}=N}$.

Зокрема, якщо ${\displaystyle N}$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$, то образом її експоненти буде матриця виду ${\displaystyle I+N'}$, де ${\displaystyle N'}$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$. Навпаки логарифм уніпотентної матриці ${\displaystyle I+N}$, де ${\displaystyle N}$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$ є нільпотентною матрицею теж степеня ${\displaystyle m}$. До того ж ці два відображення задають гомеоморфізм між просторами нільпотентних матриць зі степенем нільпотентності ${\displaystyle m}$ і уніпотентних матриць виду ${\displaystyle I+N}$, де ${\displaystyle N}$ має степінь нільпотентності ${\displaystyle m}$.

Див. також

• Нільпотентна матриця
• Розклад Жордана — Шевальє

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Dennis S. Bernstein: Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-69114-039-1.
• Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, ISBN 978-3-940-34405-2.
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
• Todd Rowland Unipotent(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Примітки

1. Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitatsverlag Gottingen, 2007, S. 66.
2. Dennis S. Bernstein: матриця Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, 2009, S. 746.