Досконале поле

Досконале поле — поле F, будь-який многочлен над яким є сепарабельним. Інакше кажучи, будь-яке алгебричне розширення поля F — сепарабельне розширення. Всі інші поля називаються недосконалими.

Всі поля характеристики 0 досконалі. Поле F скінченної характеристики p є досконалим тоді й лише тоді коли F = F^p, тобто піднесення до степеня p є автоморфізмом поля F. Скінченні поля і алгебраїчно замкнуті поля є досконалими.

Будь-яке алгебричне розширення досконалого поля теж є досконалим полем.

Приклад недосконалого поля — поле F_q(X) раціональних функцій над полем F_q, де F _q — поле з q=p^n елементів. Досконале поле F збігається з полем інваріантів групи всіх F-автоморфізмів алгебраїчного замикання поля F.

Для довільного поля F характеристики p > 0 з алгебраїчним замиканням ${\displaystyle {\bar {F}}}$ поле

${\displaystyle F^{p^{-\infty }}=\cup _{n}F^{p^{-n}}\subset {\bar {F}}}$

є найменшим досконалим полем, що містить F. Воно називається досконалим замиканням поля F в ${\displaystyle {\bar {F}}}$.

Див. також

• Досконале число

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965;