Репдиджиты

Репди́джиты (англ. repdigit, от repeated digit — повторённая цифра)[1], также репдигиты[2], однообра́зные чи́сла, шна́псовые чи́сла — натуральные числа, все цифры записи которых одинаковые. Обычно подразумевается запись в десятичной системе счисления. Для подобных чисел верна формула.

${\displaystyle \underbrace {nn\ldots nn} _{k}={\frac {(nn-n)^{k}-n^{k}}{(nn-2\cdot n)\cdot n^{(k-2)}}}}$

Где nn - это объединение n с n. k - количество объединенных n.[3]

Пример: Для n = 23, k = 5.

${\displaystyle {\frac {(2323-23)^{5}-23^{5}}{(2323-2\cdot 23)\cdot 23^{(5-2)}}}={\frac {64363429993563657}{27704259}}=\underbrace {2323232323} _{5}}$

Кроме того, любое число можно разложить на сумму и разность таких чисел. вот веб-сайт, где вы можете это сделать - https://andsha.pythonanywhere.com.

Например:

3453455634 = 3333333333 + (111111111 + (9999999 - (999999 - (11111 + (77 + (2)))))).

Рассмотрим сумму сочетаний чисел (nnn, nnnn, nnnnn, nnnnnn). Формула для их вычисления:[4]

${\displaystyle n\cdot (nnn+nnnnn+nnnnn+nnnnnn)=nn\cdot (nnn+nnnnn)+2n^{2}}$

Примеры: 11, 666, 4444, 999 999. Все репдиджиты являются палиндромами и кратны репьюнитам. Самый известный репдиджит — 666, известный в христианстве как число зверя.

Определение

Репдиджит — это число в позиционной системе счисления с целым основанием B, представимое в виде

${\displaystyle x{\frac {B^{y}-1}{B-1}},}$

где 0 < x < B — повторяющаяся цифра, y — количество цифр. Например, число 77 в десятичной системе счисления представимо в виде

${\displaystyle 77=7*{\frac {10^{2}-1}{10-1}}.}$

Примечания

1. Карпушина, 2013, с. 115, 143.
2. Константин Кноп. В погоне за простотой  (неопр.). — «Однако я могу назвать огромное простое число, запись и запоминание которого не вызовет у вас почти никаких трудностей. Это число 111...11, состоящее из 1031 единицы. Подобные числа называют репьюнитами (от англ. repeat unit - повторение единицы). Остальные числа, записанные одинаковыми цифрами, называют репдигитами (repeat digit).» Архивировано 20 октября 2009 года.
3. Шатилов Кирилл. nnn....nnn (рус.). https://www.researchgate.net. https://www.researchgate.net/+(октябрь 2024).
4. Кирилл Шатилов. исчезновение четных конкатенаций (англ. ) // ResearchGate : сайт. — 2024. — 10 октябрь. — С. 1.

Литература

• Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М.: АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Repdigit (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Mike Keith. On Repdigit Polygonal Numbers (англ.) // Journal of Integer Sequences. — 1998. — Vol. 1.

OEIS

• Последовательность A010785 в OEIS = Repdigit numbers, or numbers with repeated digits
• Последовательность A028987 в OEIS = Repdigit - 1 is prime
• Последовательность A028988 в OEIS = Repdigit + 1 is prime
• Последовательность A164937 в OEIS = Near-repdigit primes