Гиперсовершенное число — k -гиперсовершенное число для некоторого целого k . k -гиперсовершенное число — натуральное число n , для которого верно
n
=
1
+
k
⋅
(
σ
(
n
)
−
n
−
1
)
{\displaystyle n=1+k\cdot \left(\sigma \left(n\right)-n-1\right)}
где σ (n ) — это функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа).
Гиперсовершенные числа — обобщение совершенных чисел , которые являются 1-гиперсовершенными.
Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, … (последовательность A034897 в OEIS ), с соответствующими значениями k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, … (последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа, которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, … (последовательность A007592 в OEIS).
Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k.
k
OEIS
Некоторые известные числа
1
A000396
6, 28, 496, 8128, 33550336, …
2
A007593
21, 2133, 19521, 176661, 129127041, …
3
325, …
4
1950625, 1220640625, …
6
A028499
301, 16513, 60110701, 1977225901, …
10
159841, …
11
10693, …
12
A028500
697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, …
18
A028501
1333, 1909, 2469601, 893748277, …
19
51301, …
30
3901, 28600321, …
31
214273, …
35
306181, …
40
115788961, …
48
26977, 9560844577, …
59
1433701, …
60
24601, …
66
296341, …
75
2924101, …
78
486877, …
91
5199013, …
100
10509080401, …
108
275833, …
126
12161963773, …
132
96361, 130153, 495529, …
136
156276648817, …
138
46727970517, 51886178401, …
140
1118457481, …
168
250321, …
174
7744461466717, …
180
12211188308281, …
190
1167773821, …
192
163201, 137008036993, …
198
1564317613, …
206
626946794653, 54114833564509, …
222
348231627849277, …
228
391854937, 102744892633, 3710434289467, …
252
389593, 1218260233, …
276
72315968283289, …
282
8898807853477, …
296
444574821937, …
342
542413, 26199602893, …
348
66239465233897, …
350
140460782701, …
360
23911458481, …
366
808861, …
372
2469439417, …
396
8432772615433, …
402
8942902453, 813535908179653, …
408
1238906223697, …
414
8062678298557, …
430
124528653669661, …
438
6287557453, …
480
1324790832961, …
522
723378252872773, 106049331638192773, …
546
211125067071829, …
570
1345711391461, 5810517340434661, …
660
13786783637881, …
672
142718568339485377, …
684
154643791177, …
774
8695993590900027, …
810
5646270598021, …
814
31571188513, …
816
31571188513, …
820
1119337766869561, …
968
52335185632753, …
972
289085338292617, …
978
60246544949557, …
1050
64169172901, …
1410
80293806421, …
2772
A028502
95295817, 124035913, …
3918
61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, …
9222
404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, …
9828
432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, …
14280
848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, …
23730
2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, …
31752
A034916
4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, …
55848
15166641361, 44783952721, 67623550801, …
67782
18407557741, 18444431149, 34939858669, …
92568
50611924273, 64781493169, 84213367729, …
100932
50969246953, 53192980777, 82145123113, …
Можно доказать, что если k > 1 это нечетное целое число , а p = (3k + 1) / 2 и q = 3k + 4 — простые числа , тогда p ²q k -гиперсовершенное; В 2000 году Джадсон С. Маккрани предположил, что все k-гиперсовершенные числа для нечетного k > 1 имеют такую форму, но эта гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число, такое, что k (p + q) = pq — 1, то pq k-гиперсовершенное.
Можно также показать, что если k>0 и p = k + 1 просто, то для всех i>1 таких, что
q
=
p
i
−
p
+
1
{\displaystyle q=p^{i}-p+1}
n
=
p
i
−
1
⋅
q
{\displaystyle n=p^{i-1}\cdot q}
В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k-гиперсовершенным:
k
OEIS
Значения i
16
A034922
11, 21, 127, 149, 469, …
22
17, 61, 445, …
28
33, 89, 101, …
36
67, 95, 341, …
42
A034923
4, 6, 42, 64, 65, …
46
A034924
5, 11, 13, 53, 115, …
52
21, 173, …
58
11, 117, …
72
21, 49, …
88
A034925
9, 41, 51, 109, 483, …
96
6, 11, 34, …
100
A034926
3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, …
Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.
Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ <k <∞ определим k-гипердефицитность (или просто гипердефицитность) как
δk (n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)
Число n называется k-гипернедостаточным, если δk (n) > 0.
Заметим, что при k = 1 получается δ1 (n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением недостаточного числа .
Лемма : число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δk (n) = 0.
Лемма : число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δk-j (n) = -δk + j (n) для хотя бы одного j>0.
Minoli, Daniel; Bear, Robert (Fall 1975), "Hyperperfect numbers", Pi Mu Epsilon Journal , 6 (3): 153– 157 Minoli, Daniel (Dec 1978), "Sufficient forms for generalized perfect numbers", Annales de la Faculté des Sciences UNAZA , 4 (2): 277– 302 Minoli, Daniel (Feb 1981), "Structural issues for hyperperfect numbers", Fibonacci Quarterly , 19 (1): 6– 14 Minoli, Daniel (April 1980), "Issues in non-linear hyperperfect numbers", Mathematics of Computation , 34 (150): 639– 645, doi :10.2307/2006107 Minoli, Daniel (October 1980), "New results for hyperperfect numbers", Abstracts of the American Mathematical Society , 1 (6): 561 Minoli, Daniel; Nakamine, W. (1980), "Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms", International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing McCranie, Judson S. (2000), "A study of hyperperfect numbers" , Journal of Integer Sequences , 3 , Архивировано из оригинала 5 апреля 2004, Дата обращения: 29 июля 2017 Архивная копия от 5 апреля 2004 на Wayback Machine .te Riele, Herman J.J. (1981), "Hyperperfect numbers with three different prime factors", Math. Comp. , 36 : 297– 298, doi :10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9 , MR 0595066 , Zbl 0452.10005 te Riele, Herman J.J. (1984), "Rules for constructing hyperperfect numbers", Fibonacci Q. , 22 : 50– 60, Zbl 0531.10005
Handbook of number theory I (неопр.) / Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav. — Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. — С. 114. — ISBN 1-4020-4215-9 . Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114—134)
