Числа харшад

Числа харшад, или числа Нивена, — натуральные числа, делящиеся нацело на сумму своих цифр[1][2][3][4]. Таким числом является, например, 1729, так как 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91.

Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами харшад.

Первые 50 чисел харшад, не меньших 10[3]:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления. Числа, которые являются числами харшад во всех системах счисления, называются обобщёнными числами харшад. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.

История

Числа харшад были исследованы индийским математиком Даттараей Рамчандрой Капрекаром. Слово «харшад» происходит от санскритского IAST: harṣa «великая радость»[4].

Оценка плотности распределения чисел харшад

Пусть ${\displaystyle N(x)}$ — количество чисел харшад, не больших ${\displaystyle x}$, тогда для любого ε > 0

${\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}.}$

Жан-Мари де Конинк, Николас Доён[5] и Катаи[6] показали и доказали, что

${\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},}$

где

${\displaystyle c={\frac {14}{27}}\ln 10\approx 1{,}1939.}$

См. также

• Нивен, Айвен

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Harshad Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. Harshad numbers  (неопр.). Numbers Aplenty. Дата обращения: 5 ноября 2015. Архивировано 13 октября 2015 года.
3. Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits
4. J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Dattatreya Ramachandra Kaprekar  (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive (август 2007). Дата обращения: 5 ноября 2015. Архивировано 5 марта 2016 года.
5. De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas (November 2003), "On the number of Niven numbers up to x", Fibonacci Quarterly, 41 (5): 431–440.
6. De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas; Katái, I. (2003), "On the counting function for the Niven numbers", Acta Arithmetica, 106: 265–275, doi:10.4064/aa106-3-5.