Nombre polygonal

En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois[1],[2].

La formule générale pour le nombre ${\displaystyle k}$-gonal (associé au polygone régulier à ${\displaystyle k}$ côtés) d'ordre ${\displaystyle n}$ est ${\displaystyle P_{k,n}={n~{\big (}(k-2)n-(k-4){\big )} \over 2}}$.

Avec inversion des lettres ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle k}$, la suite double ${\displaystyle (P_{n,k})_{n\geqslant 1,k\geqslant 2}}$ est répertoriée comme suite A057145 de l'OEIS.

Exemples : nombres triangulaires et nombres carrés

Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par un triangle équilatéral ayant quatre pois sur chaque côté :

Notations : P_3,4 = T₄ = 10.

Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré.

Au contraire : par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté :

Notations : P_4,3 = 3^2 = 9.

Mais 9 ne peut pas être représenté par un triangle.

En outre : par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté :

Notations : P_4,6 = 6^2 = 36 = T₈ = P_3,8.

Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons

Récurrence sur l'indice n

Construction d'un nombre k-gonal d'ordre 5, dans le cas ${\displaystyle k=10}$ :${\displaystyle {\color {red}1}+{\color {orange}1+(k-2)}+{\color {green}1+2(k-2)}+{\color {blue}1+3(k-2)}+{\color {pink}1+4(k-2)}}$

La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour tout entier k ≥ 3, par convention, posons P_k,0 = 0 ; pour tout entier n ≥ 1, le nombre de points rouges du n-ième k-gone, possédant ${\displaystyle n}$ points sur chaque arête, est égal à ${\displaystyle k-2}$ (points disposés aux sommets) plus ${\displaystyle (k-2)(n-2)}$ (points disposés à l'intérieur des arêtes). Donc :

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{k,n}-P_{k,n-1}&=k-1+(k-2)(n-2)\\&=1+(k-2)(n-1).\end{aligned}}}$

C'est le gnomon associé à P_k,n–1, et faisant passer à P_k,n.
Pour tout entier k ≥ 3, (P_k,n – P_k,n–1)_n≥1 est donc la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison k – 2 et pour tout entier n ≥ 0, le n-ième nombre k-gonal est la somme des n premiers termes de cette suite :

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{k,n}=\sum _{1\leqslant i\leqslant n}\left(1+(k-2)(i-1)\right)&=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}\\&={n~{\big (}(k-2)n-(k-4){\big )} \over 2}\\&={n~{\big (}(k-2)(n-1)+2{\big )} \over 2}\end{aligned}}}$[3].

Exemples

Nombres triangulaires :

P3,1 = T1 = 1		P3,2 = T2 = 3		P3,3 = T3 = 6		P3,4 = T4 = 10

Nombres carrés :

P4,1 = 1^2 = 1		P4,2 = 2^2 = 4		P4,3 = 3^2 = 9		P4,4 = 4^2 = 16

Nombres hexagonaux :

P6,1 = 1		P6,2 = 6		P6,3 = 15		P6,4 = 28

Preuve sans mots de ${\displaystyle P_{k,n}=(k-2)T_{n-1}+n}$.

Récurrence sur l'indice k

On peut obtenir directement la formule ${\displaystyle P_{k,n}=(k-2)T_{n-1}+n}$ pour ${\displaystyle k\geqslant 2}$ et ${\displaystyle n\geqslant 1}$, grâce à la preuve sans mots ci-contre.

On en déduit que pour ${\displaystyle k\geqslant 3}$ et ${\displaystyle n\geqslant 1}$ :

${\displaystyle P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}}$.

Autrement dit, on obtient un nombre k-gonal en ajoutant au nombre ${\displaystyle k-1}$-gonal de même rang le nombre triangulaire de rang inférieur d'une unité.

Nombre octogonal ${\displaystyle P_{8,5}=5^{2}+4T_{4}=25+4\times 10=65}$

On en déduit que pour ${\displaystyle k\geqslant k'\geqslant 2}$ : ${\displaystyle P_{k,n}=P_{k',n}+(k-k')T_{n-1}}$.

Par exemple, pour ${\displaystyle k'=4}$ : ${\displaystyle P_{k,n}=n^{2}+(k-4)T_{n-1}}$ (voir figure de gauche).

On a aussi pour k impair ≥ 5, ${\displaystyle (k-2)P_{k,n}+T_{\frac {k-5}{2}}=T_{(k-2)n-{\frac {k-3}{2}}}}$.^[pertinence contestée]

Listes de nombres polygonaux

Nombres polygonaux

k	Nom	Notation	Expression Pk,n =					n										Numéro de suite OEIS
								1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	nombre triangulaire	P3,n	${\displaystyle {n(n+1) \over 2}}$					1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	A000217
4	nombre carré	P4,n	${\displaystyle n^{2}}$					1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	A000290
5	nombre pentagonal	P5,n	${\displaystyle {n(3n-1) \over 2}}$					1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	A000326
6	nombre hexagonal	P6,n	${\displaystyle n(2n-1)}$					1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	A000384
7	nombre heptagonal	P7,n	${\displaystyle {n(5n-3) \over 2}}$					1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	A000566
8	nombre octogonal	P8,n	${\displaystyle n(3n-2)}$					1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	A000567
9	nombre ennéagonal	P9,n	${\displaystyle {n(7n-5) \over 2}}$					1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	A001106
10	nombre décagonal	P10,n	${\displaystyle n(4n-3)}$					1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	A001107
11	nombre undécagonal	P11,n	${\displaystyle {n(9n-7) \over 2}}$					1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	A051682
12	nombre dodécagonal	P12,n	${\displaystyle n(5n-4)}$					1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	A051624
...	...		...					...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10 000	nombre myriagonal	P10 000,n	${\displaystyle n(4~999n-4~998)}$					1	10 000	29 997	59 992	99 985	149 976	209 965	279 952	359 937	449 920	A167149

Décomposition en nombres triangulaires

On a la relation ${\displaystyle P_{k,n}=(k-2)T_{n}-(k-3)n}$ où ${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$ est le n-ième nombre triangulaire. Ceci provient de la décomposition du polygone en ${\displaystyle k-2}$ triangles comme le montre la figure ci-dessous.

Nombre à la fois k-gonal et k-gonal centré

Pour tout entier k ≥ 3, les premier et (k + 1)-ième nombres k-gonaux sont aussi k-gonaux centrés :

${\displaystyle P_{k,1}=1=C_{k,1}\quad {\text{et}}\quad P_{k,k+1}={{k^{3}-k^{2}+2} \over 2}=C_{k,k}.}$

Nombre polygonal premier

Pour tout entier k ≥ 3 :

• le 2-ième nombre k-gonal, P_k,2 = k, peut évidemment être premier ;
• mais vu son expression (voir supra), un nombre k-gonal de rang n ≥ 3 ne peut pas être premier (contrairement à un nombre k-gonal centré).

Intérêt

Outre divers jeux arithmético-géométriques, nous avons en arithmétique additive / combinatoire additive le puissant théorème suivant.

Tout entier naturel est la somme d'au plus k nombres k-gonaux.

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par Pierre de Fermat, qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique[4], mais aucun livre ne parut.

Joseph Louis Lagrange a ensuite établi, en 1770, son théorème des quatre carrés :

Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.

Puis, en 1796, Gauss traita le cas des nombres triangulaires.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé par Cauchy en 1813.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Polygonal number » (voir la liste des auteurs).

1. Emile Fourrey, Récréations mathématiques, Vuibert, 1920 (lire en ligne), p. 56-54
2. David Wells, Le dictionnaire Penguin des nombres curieux, Eyrolles, 1995 (ISBN 2-212-03636-1), p. 124-125
3. (en) Eric W. Weisstein, « Polygonal Number », sur MathWorld.
4. Paul Tannery et Charles Henry, Œuvres de Fermat, t. 3, 1896, p. 252 : Commentaire de Bachet sur IV, 31.

Bibliographie

• (en) Melvyn Nathanson, « A short proof of Cauchy's polygonal number theorem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 99,‎ 1987, p. 22-24 (lire en ligne)