O
6
=
146
{\displaystyle O_{6}=146}
billes magnétiques , empilées pour former un octaèdre.Un nombre octaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un octaèdre régulier , ou deux pyramides placées ensemble, l'une placée sur l'autre renversée.
Le nombre octaédrique d'ordre
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
O
n
=
n
(
2
n
2
+
1
)
3
.
{\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}
[ 1] , [ 2] , [ 3]
Les dix premiers nombres octaédriques sont :
1 , 6 , 19 , 44 , 85 , 146 , 231 , 344 , 489 , 670 (suite A005900 de l'OEIS ).La série génératrice des nombres octaédriques est la fraction rationnelle :
z
(
z
+
1
)
2
(
z
−
1
)
4
=
∑
n
=
1
∞
O
n
z
n
=
z
+
6
z
2
+
19
z
3
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}
n
Comme somme de deux nombres pyramidaux
On peut être obtenu en ajoutant deux nombres pyramidaux carrés consécutifs :
O
n
=
∑
k
=
1
n
−
1
k
2
+
∑
k
=
1
n
k
2
=
(
n
−
1
)
n
(
2
n
−
1
)
6
+
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
=
n
(
2
n
2
+
1
)
3
.
{\displaystyle O_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}k^{2}+\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}+{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}
On obtient ici
O
n
{\displaystyle O_{n}}
O
n
−
O
n
−
1
=
(
S
−
1
)
+
(
A
−
q
)
(
n
−
2
)
+
(
F
−
q
)
(
P
m
,
n
−
m
(
n
−
1
)
)
{\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=(S-1)+(A-q)(n-2)+(F-q)(P_{m,n}-m(n-1))}
où
S
=
6
,
A
=
12
,
F
=
8
{\displaystyle S=6,A=12,F=8}
{
m
,
q
}
=
{
3
,
4
}
{\displaystyle \{m,q\}=\{3,4\}}
symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} , et
P
m
,
n
{\displaystyle P_{m,n}}
nombre m -gonal d'ordre n [ 2]
On obtient donc
O
n
−
O
n
−
1
=
(
6
−
1
)
+
(
12
−
4
)
(
n
−
2
)
+
(
8
−
4
)
(
n
(
n
+
1
)
/
2
−
3
(
n
−
1
)
)
=
2
n
2
−
2
n
+
1
{\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=(6-1)+(12-4)(n-2)+(8-4)(n(n+1)/2-3(n-1))=2n^{2}-2n+1}
D'où
O
n
=
2
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
−
2
n
(
n
+
1
)
2
+
n
=
n
(
2
n
2
+
1
)
3
{\displaystyle O_{n}=2{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-2{\frac {n(n+1)}{2}}+n={n(2n^{2}+1) \over 3}}
Si l'on retranche à chacun des 6 sommets de la construction précédente à l'étape
3
n
−
2
{\displaystyle 3n-2}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
O
T
n
=
O
3
n
−
2
−
6
P
n
−
1
(
4
)
=
16
n
3
−
33
n
2
+
24
n
−
6
{\displaystyle OT_{n}=O_{3n-2}-6P_{n-1}^{(4)}=16n^{3}-33n^{2}+24n-6}
A005910 de l'OEIS ) [ 4]
↑ (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY vol. 131, no 1, 2002 , p. 68 (lire en ligne ) ↑ a et b (en) Elena Deza et Michel Deza , Figurate Numbers , Singapour, World Scientific Publishing , 2012 , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3 lire en ligne ) , p. 105-109 ↑ Charles-É. Jean, « Nombre octaédrique ou octaédrique D3 Récréomath ↑ John H. Conway, Richard K.Guy, Le livre des nombres , Eyrolles, 1998 , p. 52-53
Articles connexes
Lien externe
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