En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par un polygone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre donné de côtés. Les côtés d'une couche polygonale contiennent un point de plus que ceux de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre k-gonal centré, la première couche contient k points et à partir de la deuxième, chaque couche contient k points de plus que la précédente.
Relation de récurrence et formule explicite
Pour tous entiersk ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième k-gone centré a un point central et n – 1 couches k-gonales régulières. Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième k-gone centré comporte k(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième k-gone centré, et faisant passer au n-ième :
Ainsi, le n-ième k-gone centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.
Pour tout entier k différent de 8 et de 9 (et ≥ 3), le 2-ième nombre k-gonal centré, Ck, 2 = 1 + k, peut évidemment être premier. En outre, il existe des nombres k-gonaux centrés premiers de rang n ≥ 3 (contrairement aux nombres k-gonaux).
Exemples : en gras dans les listes suivantes.
Listes de nombres polygonaux centrés
Nombres polygonaux centrés (nombres polygonaux centrés premiers : en gras)[pertinence contestée]