En mathématiques , un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré . Il y a une infinité de tels nombres[ 1]
Ils s'écrivent sous la forme[ 2]
N
k
=
(
(
1
+
2
)
2
k
−
(
1
−
2
)
2
k
)
2
32
=
(
(
3
+
2
2
)
k
−
(
3
−
2
2
)
k
)
2
32
,
k
∈
N
∗
.
{\displaystyle N_{k}={\frac {\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}}{32}}={\frac {\left(\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}\right)^{2}}{32}},\quad k\in \mathbb {N} ^{*}.}
Par exemple,
N
2
=
36
=
6
2
=
8
×
9
2
{\displaystyle N_{2}=36=6^{2}={\frac {8\times 9}{2}}}
La suite
(
N
k
)
{\displaystyle (N_{k})}
A001110 de l'OEIS , et si l'on pose
N
k
=
t
k
(
t
k
+
1
)
2
=
s
k
2
{\displaystyle N_{k}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}=s_{k}^{2}}
(
t
k
)
{\displaystyle (t_{k})}
(
s
k
)
{\displaystyle (s_{k})}
A001108 de l'OEIS et comme suite A001109 de l'OEIS .
Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante[ 2] , [ 3] , [ 4]
Tout nombre triangulaire est de la forme t (t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t (t + 1)/2 = s 2 , c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s , les solutions de l'équation de Pell-Fermat
x
2
−
2
y
2
=
1.
{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1.}
Les solutions sont données par
x
k
+
y
k
2
=
(
1
+
2
)
2
k
,
{\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})^{2k},}
soit
x
k
=
(
1
+
2
)
2
k
+
(
1
−
2
)
2
k
2
e
t
y
k
=
(
1
+
2
)
2
k
−
(
1
−
2
)
2
k
2
2
.
{\displaystyle x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}.}
On trouve donc
t
k
=
(
1
+
2
)
2
k
+
(
1
−
2
)
2
k
−
2
4
e
t
s
k
=
(
1
+
2
)
2
k
−
(
1
−
2
)
2
k
4
2
,
{\displaystyle t_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}-2}{4}}\quad {\rm {et}}\quad s_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{4{\sqrt {2}}}},}
d'où la valeur annoncée pour Nk = sk 2
k
Nk
sk
tk
tk /sk
1
1
1
1
1
2
36
6
8
1,3…
3
1 225
35
49
1,4
4
41 616
204
288
1,411…
5
1 413 721
1 189
1 681
1,413…
6
48 024 900
6 930
9 800
1,4141…
7
1 631 432 881
40 391
57 121
1,41420…
8
55 420 693 056
235 416
332 928
1,414211…
9
1 882 672 131 025
1 372 105
1 940 449
1,4142132…
Lorsque
k
{\displaystyle k}
t
k
s
k
=
x
k
−
1
y
k
∼
x
k
y
k
{\displaystyle {\frac {t_{k}}{s_{k}}}={\frac {x_{k}-1}{y_{k}}}\sim {\frac {x_{k}}{y_{k}}}}
tend vers la racine carrée de deux et
N
k
+
1
N
k
=
s
k
+
1
2
s
k
2
→
(
1
+
2
)
4
.
{\displaystyle {N_{k+1} \over {N_{k}}}={s_{k+1}^{2} \over s_{k}^{2}}\to (1+{\sqrt {2}})^{4}.}
Les suites
(
t
k
+
1
/
2
)
{\displaystyle (t_{k}+1/2)}
(
s
k
)
{\displaystyle (s_{k})}
récurrence linéaire double :
u
k
+
2
=
6
u
k
+
1
−
u
k
{\displaystyle u_{k+2}=6u_{k+1}-u_{k}}
L'équation diophantienne s'écrit : (2)
p
(
p
+
1
)
2
=
q
(
q
+
1
)
{\displaystyle {\frac {p(p+1)}{2}}=q(q+1)}
En posant
{
p
=
2
s
−
t
−
1
q
=
t
−
s
{\displaystyle {\begin{cases}p=2s-t-1\\q=t-s\end{cases}}}
t
(
t
+
1
)
2
=
s
2
{\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}
Les solutions de (2) sont donc données par
{
p
k
=
2
s
k
−
t
k
−
1
=
(
2
+
1
)
2
k
−
1
−
(
2
−
1
)
2
k
−
1
−
2
4
q
k
=
t
k
−
s
k
=
(
2
+
1
)
2
k
−
1
+
(
2
−
1
)
2
k
−
1
−
2
2
4
2
{\displaystyle {\begin{cases}p_{k}=2s_{k}-t_{k}-1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}-({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}-2}{4}}\\q_{k}=t_{k}-s_{k}={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}+({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}-2{\sqrt {2}}}{4{\sqrt {2}}}}\end{cases}}}
La suite
(
p
k
)
{\displaystyle (p_{k})}
A001652 de l'OEIS .
La suite
(
q
k
)
{\displaystyle (q_{k})}
A053141 de l'OEIS .
L'équation (2) possède une jolie interprétation concrète : il s'agit de déterminer dans quels cas une formation triangulaire d'oiseaux migrateurs peut se séparer en deux formations triangulaires identiques[ 3]
Il s'agit de l'équation (3)
(
n
−
1
)
2
+
n
2
=
m
2
{\displaystyle (n-1)^{2}+n^{2}=m^{2}}
m
{\displaystyle m}
m
=
2
q
+
1
{\displaystyle m=2q+1}
n
(
n
−
1
)
=
2
q
(
q
+
1
)
{\displaystyle n(n-1)=2q(q+1)}
n
=
p
+
1
{\displaystyle n=p+1}
Les solutions de (3) sont donc données par
{
n
k
=
p
k
+
1
=
(
2
+
1
)
2
k
−
1
−
(
2
−
1
)
2
k
−
1
+
2
4
m
k
=
2
q
k
+
1
=
(
2
+
1
)
2
k
−
1
+
(
2
−
1
)
2
k
−
1
2
2
{\displaystyle {\begin{cases}n_{k}=p_{k}+1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}-({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}+2}{4}}\\m_{k}=2q_{k}+1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}+({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}}{2{\sqrt {2}}}}\end{cases}}}
La suite
(
m
k
)
{\displaystyle (m_{k})}
A001653 de l'OEIS .
Remarquons que résoudre l'équation (3) revient à rechercher les triplets pythagoriciens dont les deux premiers termes sont consécutifs.
, renommé « Square triangular number » en août 2005 .
↑ Emile Fourrey, Récréations mathématiques , Vuibert, 1920 (lire en ligne ) , p. 63 ↑ a et b (en) Eric W. Weisstein , « Square Triangular Number MathWorld ↑ a et b Mercedes Haiech, « Oies sauvages et nombres triangulaires », Quadrature , no 127, janvier, février, mars 2023, p. 9-11 (lire en ligne ↑ Claude Morin, « Nombres triangulaires, équations t_m = n^2 et t_p = 2t_q », Quadrature , no 131, janvier-février-mars 2024, p. 39-40 (lire en ligne
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