Nombre 4-polytopique

En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopique, ou nombre 4-hyperpolyédrique, ou encore nombre polychorique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un 4-polytope, ou polychore.

Cas des 4-polytopes réguliers

Formules

Si l'on note ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de points à l'étape ${\displaystyle n}$ où il y a ${\displaystyle n}$ points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules :

Nombre 4-polytopique	${\displaystyle P_{n}}$	Les dix premiers nombres	Rang OEIS
nombre pentachorique ou 4-hypertétraédrique	${\displaystyle {\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{120}}}$	1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715	suite A000332 de l'OEIS
Nombre octachorique ou 4-hypercubique	${\displaystyle n^{4}}$	1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000	suite A000583 de l'OEIS
Nombre hexadécachorique ou 4-hyperoctaédrique	${\displaystyle {n^{2}(n^{2}+2) \over 3}}$	1, 8, 33, 96, 225, 456, 833, 1408, 2241, 3400	suite A014820 de l'OEIS
Nombre icositétrachorique ou hypergranatoédrique	${\displaystyle n^{2}(3n^{2}-4n+2)}$	1, 24, 153, 544, 1425, 3096, 5929, 10368, 16929, 26200	suite A092181 de l'OEIS
Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique	${\displaystyle {n(261n^{3}-504n^{2}+283n-38) \over 2}}$	1, 600, 4983, 19468, 53505, 119676, 233695, 414408, 683793, 1066960	suite A092183 de l'OEIS
Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique	${\displaystyle {n(145n^{3}-280n^{2}+179n-38) \over 6}}$	1, 120, 947, 3652, 9985, 22276, 43435, 76952, 126897, 197920	suite A092182 de l'OEIS

Notons que ${\displaystyle P_{1}}$ est le nombre de sommets du polytope correspondant.

Principe d'obtention de ces formules

On considère un 4-polytope régulier à S sommets, A arêtes, F faces et C cellules et on note ${\displaystyle d_{A},d_{F},d_{C}}$ les nombres respectifs d'arêtes, de faces et de cellules adjacentes à un sommet donné : Supposons que la figure de l'étape ${\displaystyle n-1}$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape ${\displaystyle n}$ en ajoutant[1],[2] :

• ${\displaystyle S-1}$ nouveaux points situés aux ${\displaystyle S-1}$ nouveaux sommets,

• ${\displaystyle (n-2)(A-d_{A})}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle A-d_{A}}$ nouvelles arêtes,
• ${\displaystyle (P_{k,n}-k(n-1))(F-d_{F})}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle F-d_{F}}$ nouvelles faces k-gonales, ${\displaystyle P_{k,n}}$ étant le nombre k-gonal d'ordre ${\displaystyle n}$.
• ${\displaystyle Q_{n}(C-d_{C})}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle C-d_{C}}$ nouvelles cellules, ${\displaystyle Q_{n}}$ étant le nombre polyédrique d'ordre ${\displaystyle n}$ associé aux cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.

Si l'on note ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de points à l'étape ${\displaystyle n}$, on a donc ${\displaystyle P_{n}-P_{n-1}=(S-1)+(A-d_{A})(n-2)+(F-d_{F})(P_{k,n}-k(n-1))+(C-d_{C})Q_{n}}$.

Partant de ${\displaystyle P_{0}=0}$, on obtient donc ${\displaystyle P_{n}}$ en écrivant ${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}(P_{k}-P_{k-1})}$.

Exemple pour le 4-hypercube

Pour le 4-hypercube, ${\displaystyle S=16,A=32,F=24,C=8}$, ${\displaystyle d_{A}=4,d_{F}=6,d_{S}=4}$ ; ${\displaystyle k=4}$ et ${\displaystyle P_{4,n}=n^{2}}$ ; enfin ${\displaystyle Q_{n}=n^{3}-8-12(n-2)-6(n^{2}-4(n-1))}$.

On obtient ${\displaystyle P_{n}-P_{n-1}=4n^{3}-6n^{2}+4n-1=n^{4}-(n-1)^{4}}$, ce qui donne bien ${\displaystyle P_{n}=n^{4}}$.

Références

1. (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 186
2. (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 68 (lire en ligne)

Voir aussi

• Nombre polyédrique
• Nombre 4-polytopique centré
• Nombre polytopique