Nombre pentatopique

Un pentatope à 70 sphères. Chaque niveau représente un des 5 premiers nombres tétraédriques. Par exemple, le niveau vert possède 35 sphères en tout.

Un nombre pentatopique ou nombre pentachorique, ou encore nombre hypertétraédrique[1] est un nombre figuré qui peut idéalement être représenté en dimension 4 par un pentatope (ou hypertétraèdre) constitué d'un empilement de tétraèdres réguliers[2],[3],[4].

Le nombre pentatopique de rang ${\displaystyle n}$ est donc la somme des ${\displaystyle n}$ premiers nombres tétraédriques :

${\displaystyle S_{4}(n)=\sum _{k=1}^{n}S_{3}(k)=\sum _{k=1}^{n}{k+2 \choose 3}}$

On obtient la formule :

${\displaystyle S_{4}(n)={n+3 \choose 4}}$

Ce sont donc les nombres de la cinquième colonne du triangle de Pascal.

Les premiers nombres pentatopiques sont 1, 5, 15, 35, 70, et 126 (suite A000332 de l'OEIS).

Ils constituent le cas ${\displaystyle k=4}$ des nombres k-simpliciaux comptant des points répartis dans un k-simplexe.

Références

1. Charles-É. Jean, « Nombre hypertétraédrique ou tétraédrique D4 », sur Récréomath
2. (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 162-166
3. (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 68 (lire en ligne)
4. John H. Conway, Richard K.Guy, Le livre des nombres, Eyrolles, 1998, p. 57

Voir aussi

• Nombre pentatopique centré
• Nombre tétraédrique