Квадратична формула

Коріння квадратичної функції y = 1/2x^2 − 3x + 5/2 — це місця, де граф перетинає вісь x, значення x = 1 та x = 5. Їх можна знайти за допомогою квадратичної формули.

В елементарній алгебрі, квадратична формула (англ. Quadratic formula) — це вираз замкненої форми, що описує розв'язки задачі квадратного рівняння. Інші способи розв'язання квадратних рівнянь, такі як виділення квадрату, дають однакові рішення.

Дано загальне квадратне рівняння виду ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$, де ${\displaystyle x}$ представляє невідоме, а коефіцієнти ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ представляють відомі дійсні або комплексні числа при ${\displaystyle a\neq 0}$. Значення ${\displaystyle x}$, яке називається коренем або нулем, можна знайти використовуючи квадратичну формулу,

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

де символ плюс-мінус «${\displaystyle \pm }$» вказує на те, що рівняння має два корені.[1] Ось вони, окремо написані:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Частина ${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$ відома як дискримінант квадратного рівняння.[2] Якщо коефіцієнти ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle c}$ є дійсними числами тоді при ${\displaystyle \Delta >0}$, рівняння має два різні дійсні корені; при ${\displaystyle {1}}$, рівняння має один дійсний повторюваний корінь; і при ${\displaystyle \Delta <0}$, рівняння не має дійсних коренів, але має два різні комплексні корені, які є комплексно спряженими один одному.

Геометрично, корені представляють собою значення ${\displaystyle x}$, при яких графік квадратичної фукнції ${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$, парабола, перетинає вісь ${\displaystyle x}$: х-перетинів графіку.[3] Квадратична формула також може бути використана для визначення вісь симетрії параболи.[4]

Виведення шляхом виділення квадрату

Щоб виділити квадрат, сформуйте квадратний двочлен у лівій частині квадратного рівняння, з якого можна знайти розв'язок, взявши квадратний корінь з обох сторін.

Стандартний спосіб виведення квадратичної формули полягає в застосуванні методу виділення квадрату до загального квадратного рівняння ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$.[5][6][7][8] Ідея полягає в тому, щоб перетворити рівняння до вигляду ${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}=s}$ для деяких виразів ${\displaystyle k}$ та ${\displaystyle s}$, записаних через коефіцієнти, взяти квадратний корінь з обох сторін, а потім виділити ${\displaystyle x}$.

Почнемо з ділення рівняння на квадратичний коефіцієнт ${\displaystyle a}$, що дозволено, оскільки ${\displaystyle a}$ не є нулем. Потім ми віднімаємо постійний член ${\displaystyle c/a}$, щоб виділити його в правій частині:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}.\end{aligned}}}$

Ліва частина тепер має вигляд ${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx}$, і ми можемо «виділити квадрат», додавши константу ${\displaystyle \textstyle k^{2}}$ для отримання двочлена в квадраті ${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx+k^{2}={}}$​${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}}$. У цьому прикладі ми додаємо ${\displaystyle \textstyle (b/2a)^{2}}$ в обидві сторони, щоб можна було факторизувати ліву частину (див. зображення):

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$

Оскільки ліва частина тепер є ідеальним квадратом, ми можемо легко взяти квадратний корінь з обох сторін:

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$

Нарешті, віднімання ${\displaystyle b/2a}$ з обох сторін для виділення ${\displaystyle x}$ дає квадратичну формулу:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Еквівалентні формулювання

Квадратична формула може бути еквівалентно записана за допомогою різних альтернативних виразів, наприклад

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},}$

який можна отримати, спочатку розділивши квадратне рівняння на ${\displaystyle 2a}$, в результаті чого отримаємо ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {b}{2a}}x+{\tfrac {c}{2a}}=0}$, а потім підставляємо нові коефіцієнти у стандартну квадратичну формулу. Оскільки цей варіант дозволяє повторно використовувати проміжно розраховану кількість ${\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}}$, це може дещо зменшити кількість арифметики.

Квадратний корінь у знаменнику

Менш відома квадратична формула, вперше згадана Джуліо Фаньяно,[9] описує ті ж самі корені за допомогою рівняння з квадратним коренем у знаменнику (припускаючи, що ${\displaystyle c\neq 0}$):

${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$

Тут знак мінус-плюс «${\displaystyle \mp }$» вказує на те, що двома коренями квадратного рівняння, в тому ж порядку, що і у стандартної квадратичної формули, є

${\displaystyle x_{1}={\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}},\qquad x_{2}={\frac {2c}{-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$

Див. також

• Основна теорема алгебри
• Теорема Вієта

Нотатки

1. Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, с. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
2. Discriminant review, Khan Academy (англ.), процитовано 10 листопада 2019
3. Understanding the quadratic formula, Khan Academy (англ.), процитовано 10 листопада 2019
4. Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ..., www.mathwarehouse.com, процитовано 10 листопада 2019
5. Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw–Hill Companies, Chapter 13 §4.4, p. 291, ISBN 0-07-141083-X
6. Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
7. Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
8. Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
9. Зокрема, Фаньяно почав з рівняння ${\displaystyle xx+bb=ax}$ і знайшов його розв'язки, які є $${\displaystyle x={\frac {2bb}{a\mp a{\sqrt {1-{\dfrac {4bb}{aa}}}}}}.}$$ (У 18 столітті квадрат ${\displaystyle \textstyle x^{2}}$ умовно записувався як ${\displaystyle xx}$.)

   Fagnano, Giulio Carlo (1750), Applicazione dell' algoritmo nuovo Alla resoluzione analitica dell' equazioni del secondo, del terzo, e del quarto grado [Application of a new algorithm to the analytical resolution of equations of the second, third, and fourth degree], Produzioni matematiche del conte Giulio Carlo di Fagnano, Marchese de' Toschi, e DiSant' Ononio (італ.), т. 1, Pesaro: Gavelliana, Appendice seconda, eq. 6, pp. 467, doi:10.3931/e-rara-8663

Примітки

• Smith, David Eugene (1923), History of Mathematics, т. 2, Boston: Ginn
• Irving, Ron (2013), Beyond the Quadratic Formula, MAA, ISBN 978-0-88385-783-0