転置行列 （てんちぎょうれつ、英 : transpose [of a matrix], transposed matrix ）とは、m 行 n 列の行列 A に対して A の (i , j ) 要素と (j , i ) 要素を入れ替えてできる n 行 m 列の行列のことである[ 1] t AA T , A ⊤ , A tr , A′ 転置 （てんち、英 : transpose ）といい、「A を転置する」などと表現する。
特に正方行列 に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。
m × n
A
=
[
a
1
,
1
⋯
a
1
,
n
⋮
⋱
⋮
a
m
,
1
⋯
a
m
,
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}
の転置行列 t A
t
A
=
[
a
1
,
1
⋯
a
m
,
1
⋮
⋱
⋮
a
1
,
n
⋯
a
m
,
n
]
{\displaystyle {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{m,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}
で定義される。このとき t An × m
A , B k , l
転置の転置は元の行列を与える[ 1] 対合 性）：t t AA
和の転置は転置の和を与える[ 1] t A + B ) = t At B
行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える[ 1] t kA ) = k t A 斉次性および加法性から線型性 が成り立つ：t kA + lB ) = k t A + l t B
積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える[ 1] t AB ) = t B t A 正方行列の性質 逆行列 の転置は転置の逆行列を与える[ 2] t A −1 ) = (t A−1 n 次正方行列 A の跡 を tr A で表すと tr A = tr t A n 次正方行列 A の行列式 を det A で表すと det A = det t A [ 3] n 次実 正方行列 A , n 次ベクトル x , y 内積 を ⟨ ·, ·⟩ ⟨ Ax , y ⟩ = ⟨ x , t Ay⟩
転置により定義される特別な行列として以下がある[ 4]
対称行列 ：転置が元の行列と等しい (t AA 反対称行列 ：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（t AA 直交行列 ：転置が元の行列の逆行列 になる（t AA −1 これらの行列はそれぞれ随伴行列 （行列のエルミート共役）に対するエルミート行列 、歪エルミート行列 、ユニタリ行列 に相当する。
m × n A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : V → W A の転置行列 t Af の転置写像 t fW の双対空間 W * V の双対空間 V * t fW * → V * y * ∈ W *
t
f
=
y
∗
∘
f
{\displaystyle {}^{t}f=y^{*}\circ f}
によって定義される。この定義は y ∈ W y * ∈ W * y * (y ) = ⟨ y , y * ⟩ x ∈ V
⟨
f
(
x
)
,
y
∗
⟩
=
⟨
x
,
t
f
(
y
∗
)
⟩
{\displaystyle \langle f(x),y^{*}\rangle =\langle x,{}^{t}f(y^{*})\rangle }
という関係式によって書き直すこともできる。
