a b a 1 a b a 2 成す角が π/2 < θ ≤ π のときは、射影ベクトル a 1 b 線型代数学 における空間ベクトル a b 分解 （ぶんかい、英 : vector resolution
a
=
a
1
+
a
2
=
a
∥
b
+
a
⊥
b
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} _{\parallel \mathbf {b} }+\mathbf {a} _{\perp \mathbf {b} }}
b vector component ) a 1 = a ∥b a b θ とすれば
a
∥
b
:=
|
a
|
cos
θ
b
^
=
a
⋅
b
|
b
|
|
b
|
b
(
cos
θ
=
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
)
{\displaystyle \mathbf {a} _{\parallel \mathbf {b} }:=|\mathbf {a} |\cos \theta \;{\hat {\mathbf {b} }}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |\,|\mathbf {b} |}}\mathbf {b} \qquad (\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}})}
a b 直線 への正射影 ベクトルであり、a b (ベクトル)射影 (vector projection ) とも呼ばれ、その「符号付き」大きさ |a |cos θ = a ⋅ˆ b はしばしば b スカラー射影 (scalar projection ) とも呼ばれる。大きさの「符号 」は射影 a ∥b b
a b a 2 = a ⊥b a b (ベクトル)反射影 (vector rejection from b )[ 1] b 平面 （一般には超平面 ）（の上）への a a = a ∥b + a ⊥b
a
⊥
b
=
a
−
a
∥
b
=
a
−
|
a
|
cos
θ
b
^
=
a
−
a
⋅
b
|
b
|
|
b
|
b
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\perp \mathbf {b} }&=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{\parallel \mathbf {b} }\\&=\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\cos \theta \;{\hat {\mathbf {b} }}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |\,|\mathbf {b} |}}\mathbf {b} \end{aligned}}}
0° ≤ θ ≤ 90° のときには、a b
a b a 1 ≔ a ⋅ˆ b a b θ が π/2 < θ ≤ π のときは負符号を持つ。成す角が π/2 より小さいときにはベクトル射影の大きさ |a ∥b | に一致する。まとめると
a 1 = |a ∥b |0 ≤ θ ≤ π/2 のとき);a 1 = −|a ∥b |π/2 < θ ≤ π のとき).
a b a ∥b b
a ∥b = 0 θ = 90°a ∥b b 0° ≤ θ < 90° のとき);a ∥b b 90° < θ ≤ 180° のとき).
a b a ⊥b b
a ⊥b = 0 θ = 0°, 180°a ⊥b b 0° < θ < 180° のとき).
適当なベクトル方向への射影は射影行列 として表現することができる。単位ベクトル a ≔ (ax , ay , az )
P
a
:=
a
a
⊤
=
(
a
x
a
y
a
z
)
(
a
x
a
y
a
z
)
=
(
a
x
2
a
x
a
y
a
x
a
z
a
x
a
y
a
y
2
a
y
a
z
a
x
a
z
a
y
a
z
a
z
2
)
{\displaystyle P_{a}:=aa^{\top }={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}}
ベクトルの長さ およびベクトル間の角度 の概念は任意の n -次元内積空間 に対して一般化することができるから、ベクトルの直交射影、別のベクトルに対する射影・反射影の概念も同じくそのような状況設定に対して一般化することができる。内積空間によってはその内積を点乗積 で与えることができるものもあるが、そうでない場合には射影や反射影の厳密な定義においては点乗積ではなくその空間における内積を用いることにしなければならない。
例えば三次元内積空間に対して、ベクトルの射影・反射影の概念は「平面への」射影および「平面からの」反射影という形で一般化される[ 2] 直交射影 のことであり、平面からの反射影はその平面に直交する直線の上への直交射影として与えられる。これらはともにベクトルであり、前者は平面と平行、後者は平面に垂直である。与えられたベクトルと平面の組に対して、そのベクトルのその平面に関する射影と反射影との和はもとのベクトルに一致することに注意する。同様に、より高次元の内積空間ではベクトルの射影・反射影の概念を超平面 に対する射影・反射影として一般化できる。
幾何代数 （英語版 ） k -ブレードに対する一般の多重ベクトル （英語版 ）
