Estensione ciclotomica

In matematica, in particolare in teoria dei campi, un'estensione di campi ${\displaystyle L/K}$ è detta ciclotomica se ${\displaystyle K}$ è un sottocampo di ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e se ${\displaystyle L}$ si ottiene aggiungendo a ${\displaystyle K}$ una radice primitiva ennesima dell'unità. Di conseguenza ${\displaystyle L}$ è il campo di spezzamento su ${\displaystyle K}$ del polinomio ${\displaystyle x^{n}-1.}$

I sottocampi di ${\displaystyle \mathbb {C} }$ generati su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ da una radice primitiva dell'unità si dicono campi ciclotomici.

Si dimostra che l'estensione ciclotomica ottenuta aggiungendo a un campo ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {C} }$ una radice primitiva ${\displaystyle p}$-esima dell'unità (con ${\displaystyle p}$ primo) ha gruppo di Galois ciclico. In particolare, se ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ si ha che il gruppo di Galois è isomorfo al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$.

Bibliografia

• (EN) Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 45–93.
• (EN) Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977
• (EN) Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
• (EN) Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. With an appendix by Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Voci correlate

• Estensione di campi
• Radice dell'unità
• Campo numerico
• Polinomio ciclotomico

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Cyclotomic Field, su MathWorld, Wolfram Research.