Radice dell'unità

In matematica, le radici ${\displaystyle n}$-esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui ${\displaystyle n}$-esima potenza è pari a ${\displaystyle 1}$, ovvero le soluzioni dell'equazione:

${\displaystyle x^{n}=1.}$

Le radici

Nel campo complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$ per ogni intero positivo ${\displaystyle n}$ esistono esattamente ${\displaystyle n}$ radici ${\displaystyle n}$-esime dell'unità e sono nella forma

Radici terze dell'unità, disposte ai vertici di un triangolo

${\displaystyle r_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}=e^{2\pi ik/n}\;}$

dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con ${\displaystyle k}$ intero, ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$.

Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con ${\displaystyle n}$ lati che ha un vertice in ${\displaystyle (1,0)}$.

Tra queste radici le uniche reali sono r₀ = 1 e, se ${\displaystyle n=2k}$ (cioè è pari) r_k = -1.

Per ogni ${\displaystyle n}$ l'insieme delle radici ${\displaystyle n}$-esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico.

Si dicono radici primitive ${\displaystyle n}$-esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici ${\displaystyle n}$-esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive ${\displaystyle n}$-esime dell'unità sono quelle radici ${\displaystyle n}$-esime dell'unità tali che:

${\displaystyle \forall m<n~:~r^{m}\neq 1\ \ }$.

Il numero di radici primitive ennesime dell'unità è pari al numero ${\displaystyle \phi (n)}$ di interi minori di ${\displaystyle n}$ e coprimi con ${\displaystyle n}$. Qui ${\displaystyle \phi }$ è la funzione φ di Eulero.

Radici di un numero complesso qualsiasi

Le radici ${\displaystyle n}$-esime di un numero complesso ${\displaystyle z}$ possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in forma polare

${\displaystyle z=|z|e^{i\phi }=|z|\left(\cos \phi +i\sin \phi \right).}$

Se ${\displaystyle z}$ è diverso da zero, le radici ${\displaystyle n}$-esime di ${\displaystyle z}$ sono effettivamente ${\displaystyle n}$ radici distinte. Una di queste è la seguente

${\displaystyle w_{0}={\sqrt[{n}]{|z|}}e^{\frac {i\phi }{n}}.}$

Infatti

${\displaystyle w_{0}^{n}=\left({\sqrt[{n}]{|z|}}e^{\frac {i\phi }{n}}\right)^{n}=|z|e^{\frac {ni\phi }{n}}=|z|e^{i\phi }.}$

Più in generale, le ${\displaystyle n}$ radici ${\displaystyle w_{0},\ldots ,w_{n-1}}$ di ${\displaystyle z}$ si ottengono moltiplicando ${\displaystyle w_{0}}$ con le ${\displaystyle n}$ radici dell'unità. Quindi

${\displaystyle w_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos \left({\frac {\phi }{n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\phi }{n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)}$

Queste radici formano sempre i vertici di un poligono regolare di ${\displaystyle n}$ lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|z|}}}$.

Esempi

Le radici quarte di un numero reale positivo ${\displaystyle a}$ sono ottenute moltiplicando la radice quarta reale di ${\displaystyle a}$ per le quattro radici dell'unità. Le quattro radici quarte di ${\displaystyle a}$ sono quindi:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{a}},i{\sqrt[{4}]{a}},-{\sqrt[{4}]{a}},-i{\sqrt[{4}]{a}}.}$

Le radici ${\displaystyle n}$-esime di -1 formano nel piano complesso un poligono regolare di ${\displaystyle n}$ lati, centrato nell'origine: lo si può ottenere ruotando di ${\displaystyle \pi /n}$ in senso antiorario il poligono formato dalle radici ${\displaystyle n}$-esime dell'unità. Il numero ${\displaystyle -1}$ è vertice del poligono quando ${\displaystyle n}$ è dispari.

Alcune radici di 1

${\displaystyle \left\{{\sqrt[{0}]{1}}\right\}=\mathbb {C} -\left\{0\right\}}$

${\displaystyle {\sqrt[{1}]{1}}=1}$

${\displaystyle {\sqrt[{2}]{1}}=\pm \ 1}$

${\displaystyle \left\{{\sqrt[{3}]{1}}\right\}=\left\{1;{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}};{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$

${\displaystyle \left\{{\sqrt[{4}]{1}}\right\}=\left\{\pm \ 1;\pm \ i\right\}}$

${\displaystyle \left\{{\sqrt[{5}]{1}}\right\}=\left\{1;{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i:u,v\in \{-1,1\}\right\}.}$

${\displaystyle \left\{{\sqrt[{6}]{1}}\right\}=\left\{\pm \ 1;{\frac {\pm \ 1+i{\sqrt {3}}}{2}};{\frac {\pm \ 1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$

${\displaystyle \left\{{\sqrt[{8}]{1}}\right\}=\left\{\pm \ 1;\pm \ i;\pm \ {\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\pm \ {\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\right\}}$

Voci correlate

• Polinomio ciclotomico
• Equazione ciclotomica
• Uno
• Unità immaginaria
• Radicale (matematica)
• Radice (matematica)
• Numero complesso

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Radice dell'unità / Radice dell'unità (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.