Congettura di Legendre

La congettura di Legendre, da Adrien-Marie Legendre, afferma che esiste sempre un numero primo compreso fra ${\displaystyle n^{2}}$ ed ${\displaystyle (n+1)^{2}}$. Questa congettura fa parte dei problemi di Landau e, fino ad oggi, non è stata dimostrata.

Nel 1965 Chen Jingrun dimostrò che esiste sempre un numero compreso fra ${\displaystyle n^{2}}$ ed ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ che sia un primo o un semiprimo, ossia il prodotto di due primi. Inoltre, è noto che esiste sempre un numero primo fra ${\displaystyle n-n^{\theta }}$ ed ${\displaystyle n}$, con ${\displaystyle \theta =23/42=0,547...}$ (dimostrato da J. Iwaniec e H. Pintz nel 1984)[1].

La sequenza dei più piccoli primi compresi fra ${\displaystyle n^{2}}$ ed ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ è 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401, ... [2].

La sequenza del numero di primi compresi fra ${\displaystyle n^{2}}$ ed ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ è 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9, ... [3].

Note

1. Janos Pintz, Henryk Iwanic, Primes in short intervals., in Monatshefte für Mathematik, pp 115-143, 1984.
2. (EN) Sequenza A007491, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
3. (EN) Sequenza A014085, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Bibliografia

• Chen, J. R. On the Distribution of Almost Primes in an Interval, Sci. Sinica 18, 611-627, 1975.
• G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed, Clarendon Press, Oxford, 1979, ISBN 0198531710, Appendix 3

Voci correlate

• Congettura di Brocard
• Congettura di Cramér
• Congettura di Opperman
• Postulato di Bertrand

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Congettura di Legendre, su MathWorld, Wolfram Research.