Problema di Waring

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, il problema di Waring, proposto da Edward Waring nel 1770, pone la seguente questione: esiste per ogni numero naturale ${\displaystyle k}$ un intero positivo ${\displaystyle s}$ tale che ogni numero naturale sia la somma di al più ${\displaystyle s}$ potenze ${\displaystyle k}$-esime di numeri naturali?

La risposta affermativa, nota come teorema di Hilbert-Waring, fu fornita da Hilbert nel 1909.

Il problema di Waring ha la sua Classificazione delle ricerche matematiche, 11P05, come "Waring's problem and variants".

Il numero g(k)

Per ogni k, il minimo numero s che verifica il teorema di Hilbert-Waring è denotato con g(k). Banalmente g(1)=1.

La prima parziale risposta sulla strada della determinazione esplicita di g(k) è stato il teorema di Lagrange del 1770, il quale stabilisce che quattro quadrati sono sufficienti a rappresentare ogni numero naturale; inoltre 7 non può essere scritto come somma di tre quadrati, e quindi g(2)=4.

Negli anni furono stabiliti vari limiti usando sofisticate tecniche di dimostrazione. Ad esempio Joseph Liouville mostrò che g(4) è minore o uguale di 53. Hardy e Littlewood provarono che ogni numero sufficientemente grande è la somma di 19 quarte potenze.

Wieferich[1] e A. J. Kempner[2] dimostrarono tra il 1909 e il 1913 che g(3)=9; mentre R. Balasubramanian, F. Dress, e J.-M. Deshouillers[3][4] provarono che g(4)=19 nel 1986; Chen Jingrun dimostrò che g(5)=37 nel 1964 e Pillai[5] che g(6)=73 nel 1940.

Eulero congetturò che

${\displaystyle g(k)=2^{k}+\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right]-2}$

dove [x] denota la parte intera di x[6].

Il numero G(k)

Legata a g(k) è la funzione G(k), definita come quel numero s tale che ogni numero sufficientemente grande è somma di al più s potenze k-esime. Dalla definizione è chiaro che ${\displaystyle G(k)\leq g(k)}$, poiché se ogni numero è somma di s potenze a maggior ragione lo sarà ogni numero da un certo punto in poi.

È facile vedere che G(2)=4, perché ogni numero congruo a 7 modulo 8 non può essere rappresentato come somma di tre quadrati (dimostrando quindi che ${\displaystyle G(2)\geq 4}$), e al contempo si ha g(2)=4.

Harold Davenport dimostrò nel 1939 che G(4)=16.

Non sono noti altri valori di G(k); sono però conosciuti limiti inferiori e superiori.

Limiti inferiori

Per ogni ${\displaystyle k}$ maggiore di ${\displaystyle 1}$ si ha ${\displaystyle G(k)>k}$. Per classi speciali di numeri questo limite si alza:

• se ${\displaystyle k=2^{r}}$ o ${\displaystyle k=3\cdot 2^{r}}$ (con ${\displaystyle r>1}$) allora ${\displaystyle G(k)\geq 2^{r+2}}$;
• se ${\displaystyle p}$ è un primo maggiore di ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle k=p^{r}(p-1)}$, allora ${\displaystyle G(k)\geq p^{r+1}}$;
• se ${\displaystyle p}$ è un primo maggiore di ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle k={\frac {p^{r}(p-1)}{2}}}$, allora ${\displaystyle G(k)\geq {\frac {p^{r+1}-1}{2}}}$.

Limiti superiori

Sono noti i seguenti limiti superiori per G(k):

k	3	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle G(k)\leq }$	7	17	21	33	42	50	59	67	76	84	92	100	109	117	125	134	142

G(3) è almeno 4, poiché i cubi sono congrui a 0, 1 o -1 modulo 9; 1290740 è il più grande numero minore di ${\displaystyle 1,3\cdot 10^{9}}$ che richiede sei cubi, e il numero di interi tra N e 2N decresce con sufficiente velocità all'aumentare di N che si pensa che sia G(3)=4; il più grande numero noto che non è la somma di quattro cubi è 7373170279850 [7], e ci sono ragioni per affermare che è il più grande esistente.

13792 è il più grande numero che richiede 17 quarte potenze (Deshouillers, Hennecart e Landreau hanno dimostrato nel 2000 [8] che ogni numero tra 13793 e 10^245 ne richiede al massimo sedici, e Kawada, Wooley e Deshouillers hanno esteso il risultato di Davenport del 1939 mostrando che ogni numero oltre 10^220 ne richiede al massimo sedici). Inoltre sedici potenze sono sempre necessarie per rappresentare i numeri nella forma ${\displaystyle 16^{n}\cdot 31}$.

617597724 è il più grande numero minore di ${\displaystyle 1,3\cdot 10^{9}}$ che richiede dieci quinte potenze, e 51033617 l'ultimo in questo intervallo che ne richiede 11.

Note

1. (DE) Arthur Wieferich, Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt ^[collegamento interrotto], in Mathematische Annalen, vol. 66, 1909, pp. 95-101.
2. (DE) Aubrey Kempner, Bemerkungen zum Waringschen Problem ^[collegamento interrotto], in Mathematische Annalen, vol. 72, 1912, pp. 387-399.
3. (FR) Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 4, pp. 85-88
4. (FR) Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 5, pp. 161-163
5. (EN) Pillai, S. S. On Waring's problem g(6)=73, Proc. Indian Acad. Sci. 12A, pp. 30-40
6. Euler's Conjecture - from Wolfram MathWorld
7. Jean-Marc Deshouillers, François Hennecart, Bernard Landreau, 7373170279850, Mathematics of Computation 69 (2000) 421--439, available at http://www.ams.org/mcom/2000-69-229/S0025-5718-99-01116-3/S0025-5718-99-01116-3.pdf
8. Deshouillers, Hennecart, Landreau, Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results, Journal de Théorie des Nombers de Bordeaux 12 (2000), 411-422; http://www.math.ethz.ch/EMIS/journals/JTNB/2000-2/Dhl.ps

Voci correlate

• Teoria analitica dei numeri

Collegamenti esterni

• (EN) William L. Hosch, Waring’s problem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Waring's Problem, su MathWorld, Wolfram Research.