Successione di Mian-Chowla

In teoria dei numeri, la successione di Mian-Chowla è una sequenza ricorsiva di numeri interi definita in modo tale che le somme a due a due dei termini precedenti ad uno dato siano tutte distinte. È stata ideata dai matematici Abdul Majid Mian e Sarvadaman Chowla.

I primi numeri della successione di Mian-Chowla sono: 1, 2, 4, 8, 13, 21, 31, 45, 66, 81, 97, 123, 148, 182, 204, 252, 290, 361, 401, 475, 565, 593, 662, 775, 822, 916, 970[1].

Definizione e proprietà

La successione inizia con

${\displaystyle a_{1}=1}$ .

Poi per tutti gli ${\displaystyle n>1}$, ${\displaystyle a_{n}}$ è il più piccolo intero tale che tutte le somme

${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$,

dove ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$ sono due interi qualsiasi minori o uguali ad ${\displaystyle n}$ (anche coincidenti), abbiano valori distinti. Non contano le coppie ottenibili mediante proprietà commutativa.
Inizialmente, con ${\displaystyle a_{1}}$, c'è solo una somma di due termini, 1+1=2. Il termine successivo è ${\displaystyle a_{2}=2}$, dato che le somme a due a due di {1; 2} sono tutte distinte (1+1=2, 1+2=3 e 2+2=4). Proseguendo, ${\displaystyle a_{3}}$ non può essere 3 per via delle somme coincidenti 1+3=2+2=4. ${\displaystyle a_{3}}$ vale invece 4, e le somme a due a due sono 2, 3, 4, 5, 6 e 8.

Il limite della sommatoria degli inversi dei numeri della successione di Mian-Chowla, ossia

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}}}}$,

è compreso tra 2,158452685 e 2,15846062, rendendo la successione uno degli insiemi di Sidon con la sommatoria dei reciproci più alta[2].

Varianti

Assumendo, invece di ${\displaystyle a_{1}=1}$, ${\displaystyle a_{1}=0}$, si ottiene una sequenza analoga in cui ogni termine è minore di 1 rispetto al corrispettivo dell'altra sequenza. I suoi primi termini sono: 0, 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44, 65, 80, 96, 122[3].

Note

1. (EN) Sequenza A005282, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
2. Raffaele Salvia, A New Lower Bound for the Distinct Distance Constant, 2014.
3. (EN) Sequenza A025582, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Voci correlate

• Successione di Ulam

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Successione di Mian-Chowla, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) http://planetmath.org/encyclopedia/MianChowlaSequence.html^[collegamento interrotto] su Planetmath.