Funzione di Liouville

In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con ${\displaystyle \lambda (n)}$ e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come

${\displaystyle \lambda \left(n\right)=\left(-1\right)^{\sum _{k=1}^{r}e_{k}},}$

dove si intende che ${\displaystyle n}$ sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia

${\displaystyle n=\prod _{k=1}^{r}p_{k}^{e_{k}}.}$

Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},}$

dove ${\displaystyle \Omega (n)}$ è il numero di fattori primi di ${\displaystyle n,}$ contati nella loro molteplicità[1].

Dal momento che ${\displaystyle \Omega (n)}$ è additiva, ${\displaystyle \lambda }$ è completamente moltiplicativa. Inoltre ${\displaystyle \Omega (1)=0}$ e quindi ${\displaystyle \lambda (1)=1.}$ La funzione di Liouville soddisfa le seguenti identità:

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1,&{\text{se }}n{\text{ è un quadrato perfetto}},\\0,&{\text{altrimenti}}.\end{cases}}}$

La funzione di Liouville è collegata alla funzione zeta di Riemann dalla seguente formula:

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

La serie di Lambert per la funzione di Liouville è

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

con la somma a sinistra che è un caso particolare della funzione theta di Ramanujan e ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ è una delle funzione theta di Jacobi.

La funzione di Liouville è correlata alla funzione di Möbius dalla seguente identità:

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

Congetture

Pólya congetturò che

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0,}$

per ${\displaystyle n>1}$ (congettura di Pólya). Ciò si rivelò essere falso essendo ${\displaystyle n=906150257}$ un controesempio (trovato da Minoru Tanaka nel 1980). Non è noto se ${\displaystyle L(n)}$ cambi segno infinite volte. Inoltre, definendo

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}}$

si congetturava che ${\displaystyle M(n)\geq 0}$ per ${\displaystyle n}$ sufficientemente grande (questa congettura è a volte attribuita impropriamente a Pál Turán). Ciò fu confutato da Haselgrove nel 1958, che dimostrò che ${\displaystyle M(n)}$ assume valori negativi un numero infinito di volte. La conferma di questa congettura avrebbe condotto a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann, come è stato mostrato da Pál Turán.

Note

1. (EN) Sequenza A008836, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.12).
• Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
• Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
• Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
• M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Liouville, su MathWorld, Wolfram Research.