Quartische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl (vom englischen quartan prime) eine Primzahl der Form ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ mit ganzzahligen ${\displaystyle x>0}$ und ${\displaystyle y>0}$.

Beispiele

• Die Zahl ${\displaystyle 2=1+1=1^{4}+1^{4}}$ ist eine quartische Primzahl.
• Die Zahl ${\displaystyle 97=16+81=2^{4}+3^{4}}$ ist eine quartische Primzahl.
• Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten:

2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937, … (Folge A002645 in OEIS)

• Die momentan größte bekannte quartische Primzahl (Stand: 17. Juni 2018) ist gleichzeitig die größte bekannte verallgemeinerte Fermatsche Primzahl, nämlich

${\displaystyle p=919444^{1048576}+1=(919444^{262144})^{4}+1^{4}}$

Sie hat ${\displaystyle 6.253.210}$ Stellen und wurde am 29. August 2017 von Sylvanus A. Zimmerman (USA) entdeckt.[1][2]

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle p>2}$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:[3]

${\displaystyle p=16n+1}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Mit anderen Worten:

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {16}}}$

• Sei ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}\in \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle p>2}$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:

Wenn ${\displaystyle x}$ ungerade ist, muss ${\displaystyle y}$ gerade sein oder umgekehrt.

Beweis:

Angenommen, sowohl ${\displaystyle x}$ als auch ${\displaystyle y}$ sind gerade. Dann wäre auch ${\displaystyle x^{4}}$ und ${\displaystyle y^{4}}$ gerade und somit wäre auch ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen ${\displaystyle p>2}$ kann dies aber nicht sein.

Angenommen, sowohl ${\displaystyle x}$ als auch ${\displaystyle y}$ sind ungerade. Dann wäre auch ${\displaystyle x^{4}}$ und ${\displaystyle y^{4}}$ ungerade und somit wäre ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen ${\displaystyle p>2}$ kann dies aber nicht sein.

Somit bleibt nur übrig, dass entweder ${\displaystyle x}$ oder ${\displaystyle y}$ ungerade und die jeweils andere gerade ist. ${\displaystyle \Box }$

Weil jede gerade Zahl hoch 4 durch 16 teilbar ist und jede ungerade Zahl hoch 4 bei der Division durch 16 den Rest 1 hat, gilt: ${\displaystyle p=g^{4}+u^{4}\equiv 0+1=1{\pmod {16}}}$

• Außer der 2 enden alle quartischen Primzahlen im Dezimalsystem mit der Endziffer 1 oder 7.

Alle Biquadrate von geraden Zahlen endet mit der Ziffer 0, falls diese durch 10 teilbar sind ${\displaystyle (z)}$, andernfalls mit der Endziffer 6 ${\displaystyle (g)}$.

Alle Biquadrate von ungeraden Zahlen endet mit der Ziffer 5, falls diese durch 5 teilbar sind ${\displaystyle (f)}$, andernfalls mit der Endziffer 1 ${\displaystyle (u)}$.

${\displaystyle z^{4}+u^{4}\equiv 0+1\equiv 1{\pmod {10}}}$

${\displaystyle z^{4}+f^{4}\equiv 0+5\equiv 5{\pmod {10}}}$ : keine Primzahlen, weil durch 5 teilbar.

${\displaystyle g^{4}+u^{4}\equiv 6+1\equiv 7{\pmod {10}}}$

${\displaystyle g^{4}+f^{4}\equiv 6+5\equiv 1{\pmod {10}}}$

Siehe auch

• Biquadrat

Einzelnachweise

1. 919444^1048576 + 1 auf Prime Pages
2. 919444^1048576 + 1 auf primegrid.com (PDF)
3. A. J. C. Cunningham: High quartan factorisations and primes. Messenger of Mathematics 36, 1907, S. 145–174, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch). 

Weblinks

• Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Abgerufen am 27. Mai 2018 (englisch). 

Quellen

Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Academic Press, Inc., New York 1973, ISBN 1-4832-4665-5, S. 205. 

V – D

Primzahl­mengen

formelbasiert	Carol ((2^n − 1)^2 − 2) | Doppelte Mersenne (2^2p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (2^2n + 1) | Kubisch (x^3 − y^3)/(x − y) | Kynea ((2^n + 1)^2 − 2) | Leyland (x^y + y^x) | Mersenne (2^p − 1) | Mills (A^3n) | Pierpont (2^u⋅3^v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2^n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x^4 + y^4) | Thabit (3⋅2^n − 1) | Wagstaff ((2^p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅b^n − 1) | Woodall (n⋅2^n − 1)
Primzahlfolgen	Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson
basis­abhängig	Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10^n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)