In der Zahlentheorie ist eine pythagoreische Primzahl[1] (vom englischen pythagorean prime) eine Primzahl der Form mit (nicht zu verwechseln mit Pythagoraszahl). Ist eine Primzahl keine pythagoreische Primzahl, so heißt sie nicht-pythagoreische Primzahl.
Die Umkehrung der obigen Eigenschaft gilt ebenfalls:
Ist die Summe von zwei Quadraten eine ungerade Primzahl, so ist sie eine pythagoreische Primzahl.
Beweis:
Der Beweis folgt ebenfalls direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten:
Für das Quadrat einer geraden Zahl mit gilt: .
Für das Quadrat einer ungeraden Zahl mit gilt: .
Für ungerade Primzahlen gilt: (für pythagoreische Primzahlen) oder (für nicht-pythagoreische Primzahlen).
Die Summe von zwei Quadratzahlen ist aus obigen Gründen immer , oder , aber niemals . Ist sie also eine ungerade Primzahl, so bleibt nur übrig und das sind genau die pythagoreischen Primzahlen.
Ist die Primzahl die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist eine pythagoreische Primzahl und größter Teil eines pythagoreischen Tripels.
Es gibt unendlich viele pythagoreische Primzahlen.
Die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen (der Form ) bis ist annähernd gleich wie die Anzahl der nicht-pythagoreischen Primzahlen (der Form ) bis . Im Speziellen ist die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen bis oft etwas kleiner. Dieses Phänomen nennt man auf Englisch Chebyshev’s bias und stammt vom MathematikerPafnuti Lwowitsch Tschebyschow.[4][5]
Beispiele
Bis gibt es nur zwei Zahlen, unter denen mehr pythagoreische Primzahlen (der Form ) als nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen (der Form ) existieren, nämlich und . Zwischen und sind es gleich viele und ab gibt es wieder mehr nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen.
Die folgende Liste zeigt an, wann ein „Führungswechsel“ im „Rennen“ pythagoreische Primzahlen gegen nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen stattfindet (auf Englisch Where prime race 4n-1 vs. 4n+1 changes leader):
Eine pythagoreische Primzahl (inklusive der Primzahl ) kann immer als Norm einer Gaußschen ganzen Zahl dargestellt werden. Ungerade nicht-pythagoreische Primzahlen können das nicht.
Eine pythagoreische Primzahl ist keine Primzahl in der Menge der Gaußschen Primzahlen. Der Realteil und der Imaginärteil ihrer Primfaktoren in dieser Faktorisierung sind die Kathetenlängen des rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenusenlänge .
Beweis:
Es kann jede pythagoreische Primzahl zerlegt werden in .
↑Zur Schreibweise: Im aktuellen Duden – Das große Wörterbuch der deutschen Sprache in zehn Bänden - ISBN 3-411-70360-1 wird das Adjektiv „pythagoreisch“ in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise „pythagoräisch“ als österreichische Sonderform bezeichnet.
↑Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume II: Diophantine Analysis, Chapter VI. Carnegie Institution of Washington, Publication No. 256, Vol. II, S. 228 (englisch); Textarchiv – Internet Archive.