Elitäre Primzahl

In der Zahlentheorie wird eine Primzahl ${\displaystyle p}$ elitär genannt, wenn nur endlich viele Fermat-Zahlen ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ quadratische Reste modulo ${\displaystyle p}$ sind.

Ihren Namen verdanken sie dem österreichischen Mathematiker Alexander Aigner, der sie 1986 beschrieb und als erster untersuchte.[1] Aigner nannte diese Primzahlen elitär, da sie nur sehr selten auftauchen; er selbst fand lediglich 14 solche Primzahlen, die kleiner als 35.000.000 sind.

Da Fermat-Zahlen die Beziehung ${\displaystyle F_{n+1}=(F_{n}-1)^{2}+1}$ erfüllen, wird die Kongruenzfolge (${\displaystyle F_{n}}$ mod ${\displaystyle p}$) ab einem bestimmten Index ${\displaystyle s}$ periodisch, d. h., es existiert eine minimale natürliche Zahl ${\displaystyle L}$ derart, dass ${\displaystyle F_{s+k+L}\equiv F_{s+k}}$ (mod ${\displaystyle p}$) für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle k}$ gilt. Die Terme ${\displaystyle F_{s},F_{s+1},\ldots ,F_{s+L-1}}$ werden als Fermat-Reste von ${\displaystyle p}$ bezeichnet. Demnach ist eine Primzahl ${\displaystyle p}$ genau dann elitär, wenn alle Fermat-Reste quadratische Nichtreste modulo ${\displaystyle p}$ sind.

Die ersten elitären Primzahlen sind: 3, 5, 7, 41, 15.361, 23.041, 26.881, 61.441, 87.041, 163.841, … (Folge A102742 in OEIS)

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele elitäre Primzahlen gibt. Es konnte jedoch nachgewiesen werden, dass die Anzahl ${\displaystyle C(x)}$ aller elitärer Primzahlen ${\displaystyle \leq x}$ die Abschätzung

${\displaystyle C(x)=O\left({\frac {x}{\ln ^{2}(x)}}\right)}$

erfüllt.[2]

Einzelnachweise

1. A. Aigner: Über Primzahlen, nach denen (fast) alle Fermatzahlen quadratische Nichtreste sind. In: Monatshefte Mathematik. 101, 1986, S. 85–93.
2. Krizek et al.: On the convergence of series of reciprocals of prims related to the Fermat numbers. In: Journal of Number Theory. 97, 2002, S. 95–112.

Weblinks

• Alain Chaumont, Tom Müller: All Elite Primes Up to 250 Billion. In: Journal of Integer Sequences. Band 9, Nr. 06.3.8, 2006 (cs.uwaterloo.ca [PDF]). 

V – D

Primzahl­mengen

formelbasiert	Carol ((2^n − 1)^2 − 2) | Doppelte Mersenne (2^2p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (2^2n + 1) | Kubisch (x^3 − y^3)/(x − y) | Kynea ((2^n + 1)^2 − 2) | Leyland (x^y + y^x) | Mersenne (2^p − 1) | Mills (A^3n) | Pierpont (2^u⋅3^v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2^n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x^4 + y^4) | Thabit (3⋅2^n − 1) | Wagstaff ((2^p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅b^n − 1) | Woodall (n⋅2^n − 1)
Primzahlfolgen	Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson
basis­abhängig	Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10^n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen)