Rumus Vieta untuk Pi

Halaman ini berisi artikel tentang rumus π. Untuk rumus mengenai polinomial, lihat rumus Vieta.

Rumus Vieta dalam Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593) karya François Viète.

Dalam matematika, rumus Vieta untuk pi adalah perkalian takhingga akar kuadrat tersarang yang sama dengan dua kali invers (kebalikan) π, yakni $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$ Selain bentuk tersebut, rumus Vieta juga dapat dinyatakan sebagai $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.}$$Nama rumus tersebut diambil dari François Viète yang memperkenalkannya pada tahun 1593.[1] Dalam sejarah matematika Eropa, rumus tersebut merupakan yang pertama menggunakan perhitungan takhingga.[2] Oleh karena itu, rumus tersebut dapat secara ketat dinyatakan sebagai limit suatu ungkapan.[3] Selain itu, penggunaan perhitungan takhingga pada rumus tersebut menandai awal berkembangnya analisis matematika. Rumus tersebut memiliki laju konvergensi linier dalam menghitung π.[4] Sehubungan dengan konvergensi, ada banyak rumus sebelum dan sesudahnya dengan keakuratan lebih baik dalam menghitung konstanta tersebut. Selain digunakan untuk menghitung π, rumus tersebut juga digunakan dalam perhitungan sifat pegas dan massa.[5] Lebih lanjut, rumus tersebut merupakan contoh tersirat tentang konsep kejadian saling bebas.

Rumus tersebut dapat diperoleh dengan pengalian takhingga berteleskop atas luas atau keliling sekumpulan poligon tersarang yang membentuk lingkaran. Sementara itu, perumuman rumus tersebut dapat diperoleh dengan menyubtitusi secara berulang rumus setengah sudut trigonometri, penemuan Leonhard Euler, yang salah satu bentuknya merupakan rumus Vieta. Selain Vieta, ada banyak rumus lain yang menggunakan akar kuadrat tersarang.

Signifikansi

François Viète (1540—1603) adalah seorang advokat, penasihat pribadi kepada dua Raja Perancis, dan matematikawan. Ia memperkenalkan rumus hitung π dalam karyanya Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII pada tahun 1593. Saat ia memperkenalkan rumus tersebut, metode menghitung π dengan keakurasian tertentu telah lama diketahui. Rumus Vieta sendiri dapat dipahami sebagai bentuk lain atas cara Archimedes menentukan keliling lingkaran dengan menggunakan keliling poligon.[1] Cara tersebut digunakan Archimedes untuk mengapit[6] $${\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.}$$Dengan memperkenalkan metode hitungnya dalam bentuk rumus, Viète telah menyajikan salah satu penggunaan perkalian takhingga dalam matematika,[7][8] dan contoh rumus eksplisit nilai pasti π yang pertama.[9][10] Karena merupakan salah satu metode pertama yang menggunakan perhitungan takhingga untuk menentukan nilai suatu konstanta dalam sejarah matematika Eropa,[11] Eli Maor menggangap keberadaan rumus Vieta sebagai awal berkembangnya analisis matematika.[2] Lagi, Jonathan Borwein menganggap keberadaan rumus tersebut sebagai "awal bangkitnya matematika modern".[12]

Viète menghitung nilai π hingga digit desimal ke-9 dengan menggunakan rumusnya.[4] Namun demikian, perhitungan tersebut bukan yang paling akurat pada waktu itu karena Jamshīd al-Kāshī, seorang matematikawan Persia, telah terlebih dahulu menghitung nilai π hingga seksagesimal ke-9 dan desimal ke-16 pada tahun 1424.[12] Tidak lama setelah Viète memperkenalkan rumusnya, Ludolph van Ceulen menggunakan metode perhitungan mirip dengan Viète untuk menghitung nilai π hingga digit ke-35 yang baru dipublikasi setelah kematiannya pada tahun 1610.[12]

Di luar signifikansinya dalam konteks matematika dan sejarah, rumus Vieta dapat digunakan untuk mempelajari variasi kecepatan gelombang ketika frekuensinya berbeda pada beragam pegas dan massa dengan π sebagai pembatas atas kecepatan tersebut.[5] Lebih lanjut, perolehan rumus tersebut dalam bentuk perkalian integral sistem Rademacher yang sama dengan perkalian integral berfungsi serupa merupakan salah satu contoh tersirat tentang kejadian saling bebas.[13]

Pemahaman dan konvergensi

Rumus Vieta dapat dinyatakan ulang dan dipahami sebagai limit ungkapan[3] $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}}$$ dengan $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}}$$ Untuk sembarang ${\displaystyle n}$, ungkapan pada limit tersebut hanya perkalian terhitung. Sementara itu, apabila ${\displaystyle n}$ semakin besar, perkalian terhitung tersebut akan mendekati nilai rumus Vieta. Karena Viète memperoleh rumusnya jauh sebelum konsep limit serta pembuktian ketat konvergensi dikembangkan dalam matematika, kebenaran adanya limit tersebut baru diberikan oleh Ferdinand Rudio pada tahun 1891.[1][14]

Perbandingan konvergensi Vieta (×) dengan rumus π lainnya. Pada grafik ini, S_n adalah perkiraan nilai konstanta tersebut setelah menghitung hingga suku n. Di samping itu, setiap tanda panah menuju arah kanan adalah pembesaran sepuluh kali lipat atas batang abu-abu atau interval.

Laju konvergensi suatu limit mengendalikan seberapa banyak suku atau jumlah perhitungan yang dibutuhkan untuk memperoleh digit sesuai konstanta terkait. Pada rumus Vieta sendiri, banyak suku dan digit saling berbanding satu sama lain. Sebagai contoh, hasil kali dari suku n pertama pada limit rumus tersebut menghasilkan nilai π yang sekitar 0,6n digit.[4][15] Hal tersebut hampir menyamai produk Wallis, salah satu rumus π dalam bentuk perkalian takhingga yang terkenal di kemudian waktu. Walaupun Viète hanya menghitung hingga digit ke-9, bentuk percepatan rumusnya telah digunakan untuk menghitung π hingga pada ribuan digit.[4]

Rumus berkaitan

Lebih seabad setelah Viète memperkenalkan metode hitungnya, rumus Vieta diketahui sebagai kasus khusus dari salah satu rumus sinc yang sering dianggap sebagai penemuan Leonhard Euler[16], yakni[1] $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots }$$ Dengan subtitusi x = π/2 pada rumus tersebut, diperoleh[17] $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots }$$ Setelah itu, dengan mengubah setiap ungkapan yang dikali pada bagian kanan persamaan tersebut menggunakan rumus setengah sudut $${\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}},}$$ diperoleh rumus Vieta.[9]

Lebih lanjut, rumus Vieta dapat digunakan untuk memperoleh rumus berkaitan yang hanya menggunakan satu operasi kali, yakni[18] $${\displaystyle \pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{{\text{sebanyak }}k{\text{ akar kuadrat}}}}$$ yang dapat dinyatakan ulang lebih rapi sebagai $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}},\\a_{1}&=0,\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}}$$ Ada banyak rumus untuk π dan konstanta lainnya, seperti rasio emas, yang diketahui. Sama seperti Vieta, rumus tersebut menggunakan akar kuadrat tersarang atau perkalian takhingga fungsi trigonometri.[8][18][19][20][21][22][23][24]

Perolehan

Barisan poligon beraturan bersisi pangkat bilangan dua yang digambarkan pada sebuah lingkaran. Setiap rasio luas atau keliling poligon yang saling berurutan pada barisan tersebut merupakan suku pada rumus Vieta.

Dalam memperoleh rumusnya, Viète membandingkan luas poligon beraturan bersisi 2^n dengan bersisi 2^n + 1 yang masing-masing digambarkan pada sebuah lingkaran.[1][2] Agar lebih jelas, suku pertama pada rumus tersebut, ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$, adalah rasio luas persegi dengan luas oktagon. Sementara itu, suku keduanya adalah rasio luas oktagon dengan luas heksadekagon, dst. Oleh karena sebagian besar penyebut suku sebelumnya sama dengan pembilang suku berikutnya, perkalian rumus tersebut berteleskop, beruntun hilang, yang menyisakan rasio luas persegi (poligon pertama pada lingkaran) dengan luas lingkaran (batas akhir poligon bersisi 2^n). Selain sudut pandang tersebut, setiap suku pada rumus Vieta dapat dipahami sebagai rasio keliling antara dua poligon dengan urutan sama seperti sebelumnya. Pada konteks ini, suku pertama adalah rasio keliling digon (diameter lingkaran dihitung dua kali) dengan keliling persegi. Selanjutnya, suku kedua adalah rasio keliling persegi dengan keliling oktagon, dst.[25]

Rumus Vieta juga dapat diperoleh menggunakan identitas trigonometri dan rumus Euler. Dalam hal ini, dengan menyubtitusi secara berulang rumus dua kali sudut $${\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}$$ pada dirinya sendiri, diperoleh rumus baru yang dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika, yakni untuk setiap bilangan bulat positif n, $${\displaystyle \sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).}$$Bagian 2^n sin(x/2^n) mendekati x apabila n mendekati takhingga yang mengarah pada rumus Euler. Dari rumus tersebut, rumus Vieta dapat diperoleh dengan menyubtitusi x = π/2.[9][13]

Lihat juga

• Hukum Morrie, identitas serupa dengan subtitusi ${\displaystyle x=2^{n}\alpha }$ pada perumuman rumus Vieta
• Daftar identitas trigonometri

Referensi

1. Beckmann, Petr (1971). A History of π (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2). Boulder, Colorado: The Golem Press. hlm. 94–95. ISBN 978-0-88029-418-8. MR 0449960. 
2. Maor, Eli (2011). Trigonometric Delights (dalam bahasa Inggris). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. hlm. 50, 140. ISBN 978-1-4008-4282-7. 
3. Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (2004). "2.1 Viète's infinite product". The Number pi (dalam bahasa Inggris). Diterjemahkan oleh Wilson, Stephen S. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. hlm. 44–46. ISBN 978-0-8218-3246-2. MR 2036595. 
4. Kreminski, Rick (2008). "π to thousands of digits from Vieta's formula". Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 81 (3): 201–207. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549. JSTOR 27643107.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
5. Cullerne, J. P.; Goekjian, M. C. Dunn (December 2011). "Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula". Physics Education (dalam bahasa Inggris). 47 (1): 87–91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
6. Beckmann 1971, hlm. 67.
7. De Smith, Michael J. (2006). Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing (dalam bahasa Inggris). Leicester: Matador. hlm. 165. ISBN 978-1905237-81-4. 
8. Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2013). "On Viète-like formulas". Journal of Approximation Theory (dalam bahasa Inggris). 174: 90–112. doi:10.1016/j.jat.2013.06.006 . MR 3090772. 
9. Morrison, Kent E. (1995). "Cosine products, Fourier transforms, and random sums". The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 102 (8): 716–724. arXiv:math/0411380 . doi:10.2307/2974641. JSTOR 2974641. MR 1357488. 
10. Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2010). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (dalam bahasa Inggris). New York: Springer. hlm. 15. doi:10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48807-3. 
11. Rumus dengan perhitungan takhingga dalam bentuk deret trigonometri untuk ${\displaystyle \pi }$ didapati pada sebuah teks matematika di India yang ditulis oleh Madhava dari Sangamagrama (1340—1425), tetapi rumus tersebut tidak diketahui di Eropa hingga beberapa waktu kemudian. Lihat: Plofker, Kim (2009). "7.3.1 Mādhava on the circumference and arcs of the circle". Mathematics in India (dalam bahasa Inggris). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. hlm. 221–234. ISBN 978-0-691-12067-6. 
12. Borwein, Jonathan M. (2014). "The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond" (PDF). Dalam Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen. From Alexandria, Through Baghdad (dalam bahasa Inggris). Berlin & Heidelberg: Springer. hlm. 531–561. doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24. ISBN 978-3-642-36735-9. Diakses tanggal 2024-08-20. 
13. Kac, Mark (1959). "Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence". Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. Carus Mathematical Monographs (dalam bahasa Inggris). 12. New York: John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America. hlm. 1–12. MR 0110114. 
14. Rudio, F. (1891). "Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung". Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik (dalam bahasa Jerman). 36: 139–140. JFM 23.0263.02. 
15. Osler, Thomas J. (2007). "A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (dalam bahasa Inggris). 38 (1): 136–142. doi:10.1080/00207390601002799.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
16. Euler, Leonhard (1738). "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" [On various methods for expressing the quadrature of a circle with verging numbers]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (dalam bahasa Latin). 9: 222–236.  Diterjemahkan dalam bahasa Inggris oleh Thomas W. Polaski. Lihat rumus pada halaman akhir. Rumus tersebut juga didapati pada Euler, Leonhard (1783). "Variae observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes" [Various observations about angles proceeding in geometric progression]. Opuscula Analytica (dalam bahasa Latin). 1: 345–352.  Diterjemahkan dalam bahasa Inggris oleh Jordan Bell, arXiv:1009.1439. Lihat rumus pada paragraf yang dinomori tiga.
17. Wilson, Robin J. (2018). Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-1). Oxford, Inggris: Oxford University Press. hlm. 57–58. ISBN 9780198794929. 
18. Servi, L. D. (2003). "Nested square roots of 2". The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 110 (4): 326–330. doi:10.2307/3647881. JSTOR 3647881. MR 1984573. 
19. Nyblom, M. A. (2012). "Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals". Rocky Mountain Journal of Mathematics (dalam bahasa Inggris). 42 (2): 751–758. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-751 . MR 2915517. 
20. Levin, Aaron (2006). "A geometric interpretation of an infinite product for the lemniscate constant". The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 113 (6): 510–520. doi:10.2307/27641976. JSTOR 27641976. MR 2231136. 
21. Levin, Aaron (2005). "A new class of infinite products generalizing Viète's product formula for π". The Ramanujan Journal (dalam bahasa Inggris). 10 (3): 305–324. doi:10.1007/s11139-005-4852-z. MR 2193382.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
22. Osler, Thomas J. (2007). "Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers". Fibonacci Quarterly (dalam bahasa Inggris). 45 (3): 202–204. MR 2437033. 
23. Stolarsky, Kenneth B. (1980). "Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products". Pacific Journal of Mathematics (dalam bahasa Inggris). 89 (1): 209–227. doi:10.2140/pjm.1980.89.209 . MR 0596932. 
24. Allen, Edward J. (1985). "Continued radicals". The Mathematical Gazette (dalam bahasa Inggris). 69 (450): 261–263. doi:10.2307/3617569. JSTOR 3617569.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
25. Rummler, Hansklaus (1993). "Squaring the circle with holes". The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 100 (9): 858–860. doi:10.2307/2324662. JSTOR 2324662. MR 1247533. 

Pranala luar

• Buku Viète Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593) pada Google Buku. Rumus π ada pada pertengahan hlm. 30.