Perpangkatan bilangan dua

Perpangkatan bilangan dua, (atau perpangkatan angka dua, perpangkatan nilai dua) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat.

Ketika ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat taknegatif^[1] ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak ${\displaystyle n}$ kali.

${\displaystyle {\underset {n}{\underbrace {2\times \cdots \times 2} }}=2^{n}}$.

Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel perpangkatan bilangan dua^{[OEIS 1]}

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 14}$	${\displaystyle 15}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 21}$	${\displaystyle 22}$
${\displaystyle 2^{n}}$	${\displaystyle 1}$[nb 1]	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 32}$	${\displaystyle 64}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle 512}$	${\displaystyle 1024}$	${\displaystyle 2048}$	${\displaystyle 4096}$	${\displaystyle 8192}$	${\displaystyle 16384}$	${\displaystyle 32768}$	${\displaystyle 65536}$	${\displaystyle 131072}$	${\displaystyle 262144}$	${\displaystyle 524288}$	${\displaystyle 1048576}$	${\displaystyle 2097152}$	${\displaystyle 4194304}$

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

Tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua^{[OEIS 2]}

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 2^{2^{n}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 16}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 256}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 65536}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4294967296}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 18446744073709551616}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 340282366920938463463374607431768211456}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936}$

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah ${\displaystyle 1}$ yang sama saja dengan ${\displaystyle 2^{0}}$. Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah ${\displaystyle 1+1=2=2^{1}}$. Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk ${\displaystyle 2^{n}}$, yaitu:

${\displaystyle 2^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dots +{\binom {n}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}}$.^[2]

Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner^[3], yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle \cdots }$
${\displaystyle 2^{n}}$	${\displaystyle 2^{0}}$	${\displaystyle 2^{1}}$	${\displaystyle 2^{2}}$	${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle 2^{4}}$	${\displaystyle 2^{5}}$	${\displaystyle 2^{6}}$	${\displaystyle 2^{7}}$	${\displaystyle 2^{8}}$	${\displaystyle 2^{9}}$	${\displaystyle 2^{10}}$	${\displaystyle \cdots }$
Bilangan biner	${\displaystyle 1_{2}}$	${\displaystyle 10_{2}}$	${\displaystyle 100_{2}}$	${\displaystyle 1000_{2}}$	${\displaystyle 10000_{2}}$	${\displaystyle 100000_{2}}$	${\displaystyle 1000000_{2}}$	${\displaystyle 10000000_{2}}$	${\displaystyle 100000000_{2}}$	${\displaystyle 1000000000_{2}}$	${\displaystyle 10000000000_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai ${\displaystyle n}$. Contohnya, ${\displaystyle 2^{1}}$ dikonversikan menjadi ${\displaystyle 10}$ dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1. ${\displaystyle 2^{2}}$ dikonversikan menjadi ${\displaystyle 100}$, dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk ${\displaystyle n}$ bilangan bulat taknegatif.

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk ${\displaystyle M_{n}\equiv 2^{n}-1}$.^[4] Jika ${\displaystyle n=p}$ (dimana ${\displaystyle p}$ bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$.

Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh Great Internet Mersenne Prime Search (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit^[5], yakni ${\displaystyle 2^{82.589.933}-1}$.^[6] Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa ${\displaystyle S}$ (dinotasikan ${\displaystyle \wp (S)}$), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan ${\displaystyle S}$ dengan banyak anggota himpunan kuasa ${\displaystyle S}$ sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota ${\displaystyle S}$.^[7] Ini dituliskan secara matematis:

${\displaystyle \wp (S)=2^{n(S)}}$.

Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$.^[8]

Misalkan ${\displaystyle x_{i}=1}$

${\displaystyle i}$	${\displaystyle \sum {\frac {1}{2^{2^{i}}}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0,5}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0,75}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0,8125}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0,81640625}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$

Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif ${\displaystyle x_{i}}$, deret

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}}$

konvergen menuju bilangan irasional. Karena ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.^[9]

• Perpangkatan bilangan 10
• Perpangkatan bilangan tiga

1. ^ Sudah pasti jelas bahwa suatu bilangan yang dipangkatkan 0 bernilai 1. Terkecuali untuk ${\displaystyle 0^{0}}$. Lihat Eksponensiasi#Eksponen nol