Dalam matematika , barisan dan deret aritmetika atau dikenal sebagai barisan dan deret hitung adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku usebelumnya dengan menambah bilangan tetap.[ 1]
3
{\displaystyle 3}
5
{\displaystyle 5}
7
{\displaystyle 7}
9
{\displaystyle 9}
11
{\displaystyle 11}
13
{\displaystyle 13}
… … -->
{\displaystyle \dots }
Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
a
{\displaystyle a}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
a
+
2
b
{\displaystyle a+2b}
a
+
3
b
{\displaystyle a+3b}
… … -->
{\displaystyle \dots }
[ 2]
Suku barisan aritmetika
Misal
a
n
{\displaystyle a_{n}}
n
{\displaystyle n}
a
n
=
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
{\displaystyle \ a_{n}=a+(n-1)b}
Lebih umumnya, suku barisan ke-
n
{\displaystyle n}
a
n
=
a
m
+
(
n
− − -->
m
)
b
{\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)b}
di mana
m
<
n
{\displaystyle m<n}
Beda
Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal
b
{\displaystyle b}
b
=
a
n
− − -->
a
n
− − -->
1
{\displaystyle b=a_{n}-a_{n-1}}
[ 3]
Suku tengah
Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa ganjil .[ 2]
a
m
{\displaystyle a_{m}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
m
<
n
{\displaystyle m<n}
n
− − -->
m
{\displaystyle n-m}
n
+
m
{\displaystyle n+m}
genap . Suku yang terletak antara
a
m
{\displaystyle a_{m}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
m
+
n
2
=
a
m
+
(
m
+
n
2
− − -->
m
)
b
{\displaystyle a_{\frac {m+n}{2}}=a_{m}+\left({\frac {m+n}{2}}-m\right)b}
dengan
b
=
a
n
− − -->
a
m
n
− − -->
m
{\displaystyle b={\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}}
Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati
a
m
+
n
2
=
a
m
+
(
n
− − -->
m
2
)
(
a
n
− − -->
a
m
n
− − -->
m
)
=
a
m
+
a
n
2
{\displaystyle a_{\frac {m+n}{2}}=a_{m}+\left({\frac {n-m}{2}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}\right)={\frac {a_{m}+a_{n}}{2}}}
[ 4]
Deret aritmetika
Deret aritmetika ialah jumlah suku barisan aritmetika, dan dapat kita rumuskan sebagai
S
n
=
n
2
(
a
+
a
n
)
=
n
2
[
2
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
]
.
{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].}
[ 2]
Bukti deret suku
Ilustrasi dengan gambar bagaimana rumus deret aritmetika dapat dibuktikan. Misal
a
n
{\displaystyle a_{n}}
n
{\displaystyle n}
S
n
=
a
+
[
a
+
b
]
+
[
a
+
2
b
]
+
⋯ ⋯ -->
+
[
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
]
{\displaystyle S_{n}=a+[a+b]+[a+2b]+\cdots +[a+(n-1)b]}
(1 )
sifat komutatif , akan memperoleh
S
n
=
[
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
]
+
[
a
+
(
n
− − -->
2
)
b
]
+
[
a
+
(
n
− − -->
3
)
b
]
+
⋯ ⋯ -->
+
a
{\displaystyle S_{n}=[a+(n-1)b]+[a+(n-2)b]+[a+(n-3)b]+\cdots +a}
(2 )
Persamaan (1) ditambah (2) menjadi:
2
S
n
=
2
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
+
2
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
+
⋯ ⋯ -->
+
2
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
{\displaystyle 2S_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+\cdots +2a+(n-1)b}
Karena
2
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
{\displaystyle 2a+(n-1)b}
n
{\displaystyle n}
2
S
n
=
n
[
2
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
]
S
n
=
n
2
[
2
a
+
(
n
− − -->
1
)
b
]
◼ ◼ -->
{\displaystyle {\begin{aligned}2S_{n}&=n[2a+(n-1)b]\\S_{n}&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]\quad \blacksquare \end{aligned}}}
Demikian, kita membuktikannya.[ 3]
Mirip dengan beda suku aritmetika, selisih antara deret suku memberikan suku ke-
n
{\displaystyle n}
a
n
=
S
n
− − -->
S
n
− − -->
1
{\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}}
[ 5]
Barisan aritmetika bertingkat
Pada kasus ini, barisan aritmetika bertingkat ini merupakan barisan aritmetika tingkat yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat sebelumnya. Sebagai contohnya, barisan aritmetika tingkat dua dapat didefinisikan barisan aritmetika tingkat kedua yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat pertama.[ 7]
n
{\displaystyle n}
u
n
=
a
n
+
a
n
− − -->
1
(
n
− − -->
1
)
1
!
+
a
n
− − -->
2
(
n
− − -->
1
)
(
n
− − -->
2
)
2
!
+
a
n
− − -->
3
(
n
− − -->
1
)
(
n
− − -->
2
)
(
n
− − -->
3
)
3
!
+
⋯ ⋯ -->
+
a
1
(
n
− − -->
1
)
(
n
− − -->
2
)
(
n
− − -->
3
)
⋯ ⋯ -->
(
2
)
(
1
)
(
n
− − -->
1
)
!
{\displaystyle u_{n}=a_{n}+{\frac {a_{n-1}(n-1)}{1!}}+{\frac {a_{n-2}(n-1)(n-2)}{2!}}+{\frac {a_{n-3}(n-1)(n-2)(n-3)}{3!}}+\cdots +{\frac {a_{1}(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (2)(1)}{(n-1)!}}}
[ 8] di mana
u
n
{\displaystyle u_{n}}
n
{\displaystyle n}
a
n
,
a
n
− − -->
1
,
… … -->
,
a
1
{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1}}
Jika berupa barisan linear (yakni ketika
n
=
2
{\displaystyle n=2}
u
2
=
a
2
+
a
1
(
n
− − -->
1
)
{\displaystyle u_{2}=a_{2}+a_{1}(n-1)}
Jika berupa barisan berpangkat dua (yakni ketika
n
=
3
{\displaystyle n=3}
u
3
=
a
3
+
a
2
(
n
− − -->
1
)
+
a
1
(
n
− − -->
1
)
(
n
− − -->
2
)
2
{\displaystyle u_{3}=a_{3}+a_{2}(n-1)+{\frac {a_{1}(n-1)(n-2)}{2}}}
Hal tersebut berlanjut hingga seterusnya sehingga mendapat rumus umum di atas.[ 8]
Bentuk rekursif
Pada barisan aritmetika tingkat kedua, kita misalkan
b
i
{\displaystyle b_{i}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
i
=
1
,
… … -->
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
c
{\displaystyle c}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
n
=
3
a
n
− − -->
1
− − -->
3
a
n
− − -->
2
+
a
n
− − -->
3
{\displaystyle a_{n}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}}
Bukti barisan aritmetika tingkat kedua
Karena
b
1
,
… … -->
,
b
n
{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}
b
n
=
a
n
+
1
− − -->
a
n
{\displaystyle b_{n}=a_{n+1}-a_{n}}
a
2
− − -->
a
1
=
b
1
(
1.1
)
b
2
− − -->
b
1
=
k
(
2.1
)
a
3
− − -->
a
2
=
b
2
(
1.2
)
b
3
− − -->
b
2
=
k
(
2.2
)
a
4
− − -->
a
3
=
b
3
(
1.3
)
b
4
− − -->
b
3
=
k
(
2.3
)
a
5
− − -->
a
4
=
b
4
(
1.4
)
b
5
− − -->
b
4
=
k
(
2.4
)
a
6
− − -->
a
5
=
b
5
(
1.5
)
b
6
− − -->
b
5
=
k
(
2.5
)
a
7
− − -->
a
6
=
b
6
(
1.6
)
b
7
− − -->
b
6
=
k
(
2.6
)
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
a
n
− − -->
a
n
− − -->
1
=
b
n
(
1.
n
)
b
n
− − -->
b
n
+
1
=
k
(
2.
n
)
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{2}-a_{1}=b_{1}&\quad (1.1)&\quad b_{2}-b_{1}=k&\quad (2.1)\\a_{3}-a_{2}=b_{2}&\quad (1.2)&\quad b_{3}-b_{2}=k&\quad (2.2)\\a_{4}-a_{3}=b_{3}&\quad (1.3)&\quad b_{4}-b_{3}=k&\quad (2.3)\\a_{5}-a_{4}=b_{4}&\quad (1.4)&\quad b_{5}-b_{4}=k&\quad (2.4)\\a_{6}-a_{5}=b_{5}&\quad (1.5)&\quad b_{6}-b_{5}=k&\quad (2.5)\\a_{7}-a_{6}=b_{6}&\quad (1.6)&\quad b_{7}-b_{6}=k&\quad (2.6)\\\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots \\a_{n}-a_{n-1}=b_{n}&\quad (1.n)&\quad b_{n}-b_{n+1}=k&\quad (2.n)\end{matrix}}}
(
1.1
)
{\displaystyle (1.1)}
(
1.2
)
{\displaystyle (1.2)}
(
1.2
)
{\displaystyle (1.2)}
(
1.3
)
{\displaystyle (1.3)}
a
3
− − -->
2
a
2
+
a
1
=
b
2
− − -->
b
1
=
k
(
3.1
)
a
4
− − -->
2
a
3
+
a
2
=
b
3
− − -->
b
2
=
k
(
3.2
)
a
5
− − -->
2
a
4
+
a
3
=
b
4
− − -->
b
3
=
k
(
3.3
)
a
6
− − -->
2
a
5
+
a
4
=
b
5
− − -->
b
4
=
k
(
3.4
)
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{3}-2a_{2}+a_{1}&=&b_{2}-b_{1}&=&k&(3.1)\\a_{4}-2a_{3}+a_{2}&=&b_{3}-b_{2}&=&k&(3.2)\\a_{5}-2a_{4}+a_{3}&=&b_{4}-b_{3}&=&k&(3.3)\\a_{6}-2a_{5}+a_{4}&=&b_{5}-b_{4}&=&k&(3.4)\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\vdots \\\end{matrix}}}
(
3.1
)
{\displaystyle (3.1)}
(
3.2
)
{\displaystyle (3.2)}
a
3
− − -->
2
a
2
+
a
1
=
a
4
− − -->
2
a
3
+
a
2
⟺ ⟺ -->
a
4
=
3
a
3
− − -->
3
a
2
+
a
1
{\displaystyle a_{3}-2a_{2}+a_{1}=a_{4}-2a_{3}+a_{2}\iff a_{4}=3a_{3}-3a_{2}+a_{1}}
Hal yang serupa pada
(
3.2
)
{\displaystyle (3.2)}
(
3.3
)
{\displaystyle (3.3)}
(
3.4
)
{\displaystyle (3.4)}
(
3.5
)
{\displaystyle (3.5)}
a
4
− − -->
2
a
3
+
a
2
=
a
5
− − -->
2
a
4
+
a
3
⟺ ⟺ -->
a
5
=
3
a
4
− − -->
3
a
3
+
a
2
a
5
− − -->
2
a
4
+
a
3
=
a
6
− − -->
2
a
5
+
a
4
⟺ ⟺ -->
a
6
=
3
a
5
− − -->
3
a
4
+
a
3
a
6
− − -->
2
a
5
+
a
4
=
a
7
− − -->
2
a
6
+
a
5
⟺ ⟺ -->
a
7
=
3
a
6
− − -->
3
a
5
+
a
4
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{4}-2a_{3}+a_{2}=a_{5}-2a_{4}+a_{3}&\iff a_{5}=3a_{4}-3a_{3}+a_{2}\\a_{5}-2a_{4}+a_{3}=a_{6}-2a_{5}+a_{4}&\iff a_{6}=3a_{5}-3a_{4}+a_{3}\\a_{6}-2a_{5}+a_{4}=a_{7}-2a_{6}+a_{5}&\iff a_{7}=3a_{6}-3a_{5}+a_{4}\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}
Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa
a
n
=
3
a
n
− − -->
1
− − -->
3
a
n
− − -->
2
+
a
n
− − -->
3
{\displaystyle a_{n}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}}
◼ ◼ -->
{\displaystyle \blacksquare }
[ 9]
Kita lakukan lagi pada barisan tingkat tiga. Misalkan
c
i
{\displaystyle c_{i}}
b
i
{\displaystyle b_{i}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
i
=
1
,
… … -->
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
k
{\displaystyle k}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
n
=
4
a
n
− − -->
1
− − -->
6
a
n
− − -->
2
+
4
a
n
− − -->
3
− − -->
a
n
− − -->
4
{\displaystyle a_{n}=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}}
Bukti barisan aritmetika tingkat ketiga
a
2
− − -->
a
1
=
b
1
(
1.1
)
b
2
− − -->
b
1
=
c
1
(
2.1
)
c
2
− − -->
c
1
=
k
(
3.1
)
a
3
− − -->
a
2
=
b
2
(
1.2
)
b
3
− − -->
b
2
=
c
2
(
2.2
)
c
3
− − -->
c
2
=
k
(
3.2
)
a
4
− − -->
a
3
=
b
3
(
1.3
)
b
4
− − -->
b
3
=
c
3
(
2.3
)
c
3
− − -->
c
2
=
k
(
3.2
)
a
5
− − -->
a
4
=
b
4
(
1.4
)
b
5
− − -->
b
4
=
c
4
(
2.4
)
c
3
− − -->
c
2
=
k
(
3.2
)
a
6
− − -->
a
5
=
b
5
(
1.5
)
b
6
− − -->
b
5
=
c
5
(
2.5
)
c
3
− − -->
c
2
=
k
(
3.2
)
a
7
− − -->
a
6
=
b
6
(
1.6
)
b
7
− − -->
b
6
=
c
6
(
2.6
)
c
3
− − -->
c
2
=
k
(
3.2
)
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
a
n
− − -->
a
n
− − -->
1
=
b
n
(
1.
n
)
b
n
− − -->
b
n
+
1
=
c
n
(
2.
n
)
c
n
+
1
− − -->
c
n
=
k
(
3.
n
)
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{2}-a_{1}=b_{1}&\quad (1.1)&\quad b_{2}-b_{1}=c_{1}&\quad (2.1)&c_{2}-c_{1}=k&\quad (3.1)\\a_{3}-a_{2}=b_{2}&\quad (1.2)&\quad b_{3}-b_{2}=c_{2}&\quad (2.2)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{4}-a_{3}=b_{3}&\quad (1.3)&\quad b_{4}-b_{3}=c_{3}&\quad (2.3)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{5}-a_{4}=b_{4}&\quad (1.4)&\quad b_{5}-b_{4}=c_{4}&\quad (2.4)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{6}-a_{5}=b_{5}&\quad (1.5)&\quad b_{6}-b_{5}=c_{5}&\quad (2.5)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{7}-a_{6}=b_{6}&\quad (1.6)&\quad b_{7}-b_{6}=c_{6}&\quad (2.6)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad &\vdots &\quad \vdots \\a_{n}-a_{n-1}=b_{n}&\quad (1.n)&\quad b_{n}-b_{n+1}=c_{n}&\quad (2.n)&c_{n+1}-c_{n}=k&\quad (3.n)\end{matrix}}}
b
3
− − -->
2
b
2
+
b
1
=
c
2
− − -->
c
1
=
k
(
4.1
)
b
4
− − -->
2
b
3
+
b
2
=
c
3
− − -->
c
2
=
k
(
4.2
)
b
5
− − -->
2
b
3
+
b
3
=
c
3
− − -->
c
2
=
k
(
4.3
)
b
6
− − -->
2
b
5
+
b
4
=
c
4
− − -->
c
3
=
k
(
4.4
)
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
{\displaystyle {\begin{matrix}b_{3}-2b_{2}+b_{1}=c_{2}-c_{1}=k&(4.1)\\b_{4}-2b_{3}+b_{2}=c_{3}-c_{2}=k&(4.2)\\b_{5}-2b_{3}+b_{3}=c_{3}-c_{2}=k&(4.3)\\b_{6}-2b_{5}+b_{4}=c_{4}-c_{3}=k&(4.4)\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}
b
4
=
3
b
3
− − -->
3
b
2
+
b
1
b
5
=
3
b
4
− − -->
3
b
3
+
b
2
b
6
=
3
b
5
− − -->
3
b
4
+
b
3
⋮ ⋮ -->
⋮ ⋮ -->
{\displaystyle {\begin{matrix}b_{4}&=3b_{3}-3b_{2}+b_{1}\\b_{5}&=3b_{4}-3b_{3}+b_{2}\\b_{6}&=3b_{5}-3b_{4}+b_{3}\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}
b
n
=
3
b
n
− − -->
1
− − -->
3
b
n
− − -->
2
+
b
n
− − -->
3
{\displaystyle b_{n}=3b_{n-1}-3b_{n-2}+b_{n-3}}
a
n
− − -->
a
n
− − -->
1
=
b
n
− − -->
1
{\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}}
a
n
− − -->
a
n
− − -->
1
=
3
(
a
n
− − -->
1
− − -->
a
n
− − -->
2
)
− − -->
3
(
a
n
− − -->
2
− − -->
a
n
− − -->
3
)
+
(
a
n
− − -->
3
− − -->
a
n
− − -->
4
)
a
n
=
4
a
n
− − -->
1
− − -->
6
a
n
− − -->
2
+
4
a
n
− − -->
3
− − -->
a
n
− − -->
4
◼ ◼ -->
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}-a_{n-1}&=3(a_{n-1}-a_{n-2})-3(a_{n-2}-a_{n-3})+(a_{n-3}-a_{n-4})\\a_{n}&=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}\quad \blacksquare \end{aligned}}}
Demikian, kita telah membuktikannya.[ 10]
Ini akan terus berlanjut untuk barisan tingkat keempat, kelima, dst.
Lihat pula
Referensi
^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan
^ a b c d Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA . Jakarta: Esis/Erlangga. hlm. 14. ISBN 979-734-505-X . ^ a b Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan
^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan
^ Atmini Dhoruri, MS, Barisan dan Deret Bilangan
^ Salamah, Umi (2019). Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs . Tiga Serangkai Pustaka Mandiri. hlm. 26. ISBN 978-602-320-165-5 . ^ Drs. Sumarno Imail, M.Pd, Suku Ke-
n
{\displaystyle n}
^ a b Yeni Azrida, Mashadi, Sri Gemawati, Barisan Bertingkat ISBN 978-979-792-552-9 , hlm. 18.
^ Drs. Sumarno Imail, M.Pd, Suku Ke-
n
{\displaystyle n}
^ Drs. Sumarno Imail, M.Pd, Suku Ke-
n
{\displaystyle n}
Bacaan lebih lanjut
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA . Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X . (Indonesia) Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS . Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8 . (Indonesia)
Pranala luar
Perpustakaan nasional Lain-lain
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c473ba66d7c8ba5d6595a12bd2faf18c263847ee)
![{\displaystyle S_{n}=a+[a+b]+[a+2b]+\cdots +[a+(n-1)b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db403e850c6a7af1d822f82a0b9cd7f2fc595f7d)
![{\displaystyle S_{n}=[a+(n-1)b]+[a+(n-2)b]+[a+(n-3)b]+\cdots +a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2893c083bd85189121cdfd858bceca9961be0e4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2S_{n}&=n[2a+(n-1)b]\\S_{n}&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]\quad \blacksquare \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff673d4e7992509ad3e7953f4af2fa2f50befd3)
