1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
Dalam matematika, 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ adalah deret tak hingga yang suku-sukunya merupakan bilangan bulat positif yang berurutan. Di samping itu, setiap bilangan bulat tersebut diberi tanda plus dan minus secara bergantian sehingga membentuk deret selang-seling. Dengan menggunakan notasi penjumlahan sigma, jumlah m suku pertama deret tersebut dapat dinyatakan sebagai Deret di atas ialah divergen. Dengan kata lain, barisan dari deret tersebut, (1, −1, 2, −2, 3, ...), tidak menuju batas yang pasti. Meskipun demikian, pada pertengahan abad ke-18, Leonhard Euler menemui sebuah kejanggalan: Penjelasan yang tepat mengenai kejanggalan ini baru dapat diperoleh beberapa waktu kemudian. Detailnya, per tahun 1890, beberapa matematikawan, seperti Ernesto Cesàro, Émile Borel, mulai menyelidiki metode penjumlahan yang dapat menentukan nilai deret-deret divergen. Hal yang diselidiki termasuk pembaharuan baru atas metode Euler. Sebagian besar metode penjumlahan ini menetapkan nilai atas deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... sebagai 14. Salah satu metode yang tidak dapat menentukan nilai deret tersebut ialah penjumlahan Cesàro. Oleh karena itu, diperlukan metode yang sedikit lebih baik, seperti penjumlahan Abel. Deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... berkaitan erat dengan deret Grandi. Oleh karena itu, Euler mengelompokkan keduanya sebagai kasus khusus dari deret yang lebih umum, 1 − 2n + 3n − 4n + .... Dalam hal ini, n = 1 ialah deret terkait dan n = 0 ialah deret Grandi. Penelitian Euler mengenai deret ini memperluas karyanya pada masalah Basel. Kemudian, penelitiannya mengarah pada persamaan fungsional yang sekarang dikenal sebagai fungsi eta Dirichlet dan fungsi zeta Riemann. KedivergenanMenurut uji suku, suku-suku (1, −2, 3, −4, ...) pada deret tersebut tidak mendekati 0. Oleh karena itu, deret tersebut dinyatakan sebagai divergen. Kedivergenan juga dapat ditunjukkan secara langsung dari definisi deret konvergen. Detailnya, suatu deret tak hingga dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan dari jumlah parsialnya konvergen pada sebuah limit. Dalam hal ini, limitnya adalah nilai deret tak hingga tersebut. Untuk menunjukannya, jumlah parsial dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah:[1] Barisan dari penjumlahan parsial menunjukkan bahwa deret tersebut tidak konvergen ke suatu bilangan tertentu. Dengan kata lain, untuk setiap limit x, terdapat suatu titik yang semua penjumlahan parsialnya berturut-turut berada di luar interval [x−1, x+1]. Dengan demikian, 1 − 2 + 3 − 4 + ... divergen. Jumlah parsial tersebut mencakup setiap bilangan bulat tepat satu kali. Bahkan, angka nol (0) ikut apabila menghitung jumlah parsial yang kosong. Oleh karena itu, hal ini menetapkan sifat ketercacahan dari himpunan bilangan bulat .[2] Heuristik untuk penjumlahanStabilitas dan linearitasKarena suku 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... mengikuti pola yang sederhana, deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... dapat dimanipulasi dengan memindahkan penambahan suku demi suku sedemikian rupa sehingga memperoleh sebuah nilai. Singkatnya, jika deret tersebut dapat ditulis menjadi s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... dengan s ialah sebuah bilangan, manipulasi pada deret tersebut akan memperoleh nilai s = ¼:[3]
Jadi . Meskipun 1 − 2 + 3 − 4 + ... tidak dapat dijumlahkan sesuai pada umumnya, persamaan s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ¼ dapat dikatakan sebagai jawaban paling logis jika deret seperti itu harus diberi nilai. Dalam hal ini, istilah yang lebih luas untuk menentukan nilai "penjumlahan" deret divergen disebut sebagai metode penjumlahan atau metode keterjumlahan. Di samping itu, ada banyak metode yang berbeda untuk menentukan nilai sebuah deret divergen. Biasanya, metode-metode tersebut harus memiliki beberapa sifat dari metode penjumlahan biasa. Di luar hal ini, apabila diteliti lagi, manipulasi yang dijelaskan di atas sebenarnya membuktikan suatu hal. Pada konteks ini, apabila deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... ditentukan jumlahnya menggunakan metode keterjumlahan yang linear dan stabil, jumlah deret tersebut akan bernilai ¼.[4] Lebih lanjut, metode tersebut pasti menjumlahkan deret Grandi, yaitu 1 − 1 + 1 − 1 + ... = ½.[4] Hasil kali CauchyPada tahun 1891, Ernesto Cesàro menyatakan bahwa deret divergen dapat dijelaskan dengan teliti melalui kalkulus. Dalam hal ini, ia memperlihatkan bahwa, "Saya telah menulis (1 − 1 + 1 − 1 + ...)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... dan menyatakan kedua sisinya sama dengan ¼."[5] Menurut Cesàro, persamaan ini merupakan penerapan dari teorema yang ia telah terbitkan pada tahun sebelumnya. Teorema ini merupakan yang pertama dalam sejarah mengenai penjumlahan deret divergen (lihat disini untuk penjelasan metode penjumlahan).[1] Secara matematis, kunci utama dari metode penjumlahan yang digunakan oleh Cesàro ada pada konsep perkalian Cauchy. Jelasnya, 1 − 2 + 3 − 4 + .... dapat dinyatakan sebagai perkalian (konvolusi diskret) atas 1 − 1 + 1 − 1 + ... dengan 1 − 1 + 1 − 1 + .... Dalam praktiknya, perkalian Cauchy antara dua deret tak terhingga dapat dilakukan walaupun kedua deret tersebut divergen. Pada kasus an = bn = (−1)n, suku-suku hasil kali Cauchy dapat dituliskan dengan deret diagonal Maka deret hasil kalinya menjadi Jadi, metode penjumlahan tersebut akan menghasilkan nilai 1/4 untuk deret 1 − 2 + 3 − 4 + .... Hasil tersebut diperoleh dari perkalian dua deret 1 − 1 + 1 − 1 + ... (deret 1 − 1 + 1 − 1 + ... bernilai 1/2). Melalui penjelasan pada bagian sebelumnya, metode ini menyiratkan kesetaraan antara keterjumlahan 1 − 1 + 1 − 1 + ... dan 1 − 2 + 3 − 4 + ... apabila menggunakan metode yang bersifat linear, stabil, dan dapat dikalikan dengan perkalian Cauchy. Metode penjumalahn di atas merupakan bentuk teorema Cesàro yang biasa. Dalam hal ini, deret 1 − 1 + 1 − 1 + ... dapat dijumlahkan (Cesàro-summable) dalam ranah yang lebih sederhana atau (C, 1)-summable. Di sisi lain, deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... memerlukan bentuk teorema Cesàro yang lebih kuat.[6] Istilah yang merujuk untuk hal tersebut ialah (C, 2)-summable. Di samping itu, karena semua bentuk teorema Cesàro bersifar linear dan stabil,[7] nilai dari penjumlahannya bisa dihitung seperti cara di atas. Metode khususCesàro dan HölderUntuk mencari nilai (C, 1) dari deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... dengan menggunakan penjumlahan Cesàro, diperlukan penghitungan rata-rata aritmetika dari jumlah parsial deret tersebut. Jumlah parsialnya adalah: dan rata-rata aritmatika dari jumlah parsial ini adalah: Urutan rata-rata ini tidak konvergen. Oleh karena itu, deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... tidak dapat ditentukan nilainya dengan metode penjumlahan Cesàro . Ada dua bentuk terkenal atas perluasan metode penjumlahan Cesàro. Dalam hal ini, bentuk yang sederhana adalah metode (H, n) dengan n ialah bilangan asli. Pada kasus di atas, penjumlahan Cesàro memiliki bentuk (H, 1). Di sisi lain, bentuk n = 2 akan mengulangi penghitungan mean. Detailnya, perhitungan di atas memiliki mean genap yang konvergen ke ½. Di samping itu, semua mean ganjilnya sama dengan 0. Karena itu, apabila menerapkan mean dari mean konvergen, (H, 2), rata-rata dari 0 dan ½ akan menghasilkan nilai sebesar ¼.[8] Jadi, 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah (H, 2) dan bernilai sebesar ¼. Huruf "H" adalah singkatan atas nama Otto Hölder. Ia yang pertama kali membuktikan pada tahun 1882 sesuatu yang sekarang dianggap oleh para ahli matematika sebagai hubungan antara penjumlahan Abel dan penjumlahan (H, n). Pada konteks ini, deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah contoh pertamanya.[9] Fakta bahwa ¼ adalah (H, 2) jumlah dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... menjamin bahwa itu adalah jumlah Abel. Hal ini akan dibuktikan langsung di bagian bawah. Generalisasi penjumlahan Cesàro yang umum dirumuskan adalah urutan metode (C, n). Terbukti penjumlahan (C, n) dan penjumlahan (H, n) selalu memberikan hasil yang sama, namun mempunyai latar belakang sejarah yang berbeda. Pada tahun 1887, Cesàro nyaris menyatakan definisi penjumlahan (C, n), namun ia hanya memberikan sedikit contoh. Secara khusus, dia menjumlahkan 1 − 2 + 3 − 4 + ..., menjadi ¼ dengan metode yang dapat diulangi menjadi (C, n) tetapi tidak dibenarkan pada saat itu. Dia secara formal mendefinisikan metode (C, n) pada tahun 1890 untuk menyatakan teoremanya bahwa produk Cauchy dari deret yang dapat dijumlahkan (C, n) dan deret yang dapat dijumlahkan (C, m) adalah (C, m + n + 1)-dapat diringkas.[10] Penjumlahan HabelDalam laporan tahun 1749, Leonhard Euler mengakui bahwa rangkaian tersebut berbeda tetapi tetap bersiap untuk menjumlahkannya:
Euler beberapa kali mengusulkan generalisasi kata "jumlah". Dalam kasus 1 − 2 + 3 − 4 + ..., gagasannya mirip dengan apa yang sekarang dikenal sebagai penjumlahan Abel:
Ada banyak cara untuk melihat bahwa, setidaknya untuk nilai absolut |x| < 1, Euler benar dalam hal tersebut Kita dapat menggunakan perluasan Taylor pada ruas kanan, atau menerapkan proses pembagian panjang formal untuk polinomial. Mulai dari ruas kiri, kita dapat mengikuti heuristik umum di atas dan mencoba mengalikan dengan (1 + x) dua kali atau mengkuadratkan deret geometri 1 − x + x2 − .... Euler juga sepertinya menyarankan untuk membedakan suku deret terakhir berdasarkan istilah.[13] Dalam pandangan modern, fungsi pembangkit 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + ... tidak mendefinisikan suatu fungsi pada x = 1, sehingga nilai tersebut tidak dapat disubstitusikan begitu saja ke dalam ekspresi yang dihasilkan. Karena fungsinya terdefinisi untuk semua |x| < 1, kita masih dapat mengambil limitnya ketika x mendekati 1, dan ini adalah definisi dari jumlah Abel: Euler dan BorelEuler menerapkan teknik lain pada deret tersebut: transformasi Euler, salah satu penemuannya sendiri. Untuk menghitung transformasi Euler, dimulai dengan barisan suku positif yang membentuk deret bolak-balik—dalam hal ini 1, 2, 3, 4, .... Elemen pertama barisan ini diberi label a0. Selanjutnya diperlukan barisan selisih maju antara 1, 2, 3, 4, ...; ini hanya 1, 1, 1, 1, .... Elemen pertama barisan ini diberi label Δa0. Transformasi Euler juga bergantung pada selisih selisih, dan iterasi yang lebih tinggi, namun semua selisih maju antara 1, 1, 1, 1, ... adalah 0. Transformasi Euler dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah kemudian didefinisikan sebagai Dalam terminologi modern, dikatakan bahwa 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah Euler dapat dijumlahkan menjadi ¼.. Penjumlahan Euler juga menyiratkan penjumlahan Borel, dengan nilai penjumlahan yang sama, seperti pada umumnya.[14] Pemisahan timbanganSaichev dan Woyczyński sampai pada 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ¼ dengan hanya menerapkan dua prinsip fisik: relaksasi yang sangat kecil dan pemisahan timbangan. Tepatnya, prinsip-prinsip ini mengarahkan mereka untuk mendefinisikan kelompok besar "metode penjumlahan φ", yang semuanya menjumlahkan rangkaiannya menjadi ¼:
Hasil ini menggeneralisasi penjumlahan Abel, yang diperoleh dengan membiarkan φ(x) = exp(−x). Pernyataan umum dapat dibuktikan dengan memasangkan suku-suku dalam deret tersebut pada m dan mengubah persamaan tersebut menjadi integral Riemann. Untuk langkah terakhir, pembuktian yang sesuai untuk 1 − 1 + 1 − 1 + ... menerapkan teorema nilai purata, tetapi di sini diperlukan bentuk teorema Taylor Lagrange yang lebih kuat. GeneralisasiHasil kali Cauchy rangkap tiga dari 1 − 1 + 1 − 1 + ... adalah 1 − 3 + 6 − 10 + ..., deret bilangan segitiga berselang-seling; jumlah Abel dan Eulernya adalah ⅛.[16] Hasil kali Cauchy empat kali lipat dari 1 − 1 + 1 − 1 + ... adalah 1 − 4 + 10 − 20 + ..., deret bilangan tetrahedral yang berselang-seling, yang jumlah Abelnya adalah 1⁄16. Generalisasi lain dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... dalam arah yang sedikit berbeda adalah deret 1 − 2n + 3n − 4n + ... untuk nilai n lainnya. Untuk bilangan bulat positif n, deret ini mempunyai jumlah Abel sebagai berikut:[17] dimana Bn adalah bilangan Bernoulli. Bahkan untuk n, ini direduksi menjadi yang dapat diartikan menyatakan bahwa nilai genap negatif dari fungsi zeta Riemann adalah nol. Jumlah ini menjadi bahan ejekan khusus oleh Niels Henrik Abel pada tahun 1826:
Guru Cesàro, Eugène Charles Catalan, juga meremehkan deret divergen. Di bawah pengaruh Catalan, Cesàro awalnya menyebut "rumus konvensional" untuk 1 − 2n + 3n − 4n + ... sebagai "persamaan yang tidak masuk akal", dan pada tahun 1883 Cesàro mengungkapkan pandangan umum pada saat itu bahwa rumus tersebut salah tetapi tetap saja entah bagaimana berguna secara formal. Terakhir, dalam Sur la multiplication des séries tahun 1890, Cesàro mengambil pendekatan modern yang dimulai dari definisi.[19] Deret tersebut juga dipelajari untuk nilai non-integer n; ini membentuk fungsi eta Dirichlet. Bagian dari motivasi Euler mempelajari deret yang berkaitan dengan 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah persamaan fungsional fungsi eta, yang mengarah langsung ke persamaan fungsional fungsi zeta Riemann. Euler telah menjadi terkenal karena menemukan nilai-nilai fungsi ini pada bilangan bulat genap positif (termasuk masalah Basel), dan dia juga mencoba menemukan nilai-nilai pada bilangan bulat ganjil positif (termasuk konstanta Apéry), sebuah masalah yang masih sulit dipahami hingga saat ini. Fungsi eta khususnya lebih mudah ditangani dengan metode Euler karena deret Dirichletnya dapat dijumlahkan Abel di mana saja; deret Dirichlet fungsi zeta jauh lebih sulit untuk dijumlahkan jika ia menyimpang.[20] Misalnya, pasangan dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... dalam fungsi zeta adalah deret tak bolak-balik 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, yang memiliki penerapan mendalam dalam fisika modern namun membutuhkan lebih banyak kekuatan metode untuk menjumlahkan. Lihat jugaReferensi
Daftar pustaka
|