1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Enam penjumlahan pertama digambar sebagai bagian-bagian persegi.

Deret geometri di garis bilangan real.

Dalam matematika, deret tak hingga 12 + 14 + 18 + 116 + · · · adalah contoh dasar dari deret geometri yang mutlak konvergen. Hasil penjumlahan tersebut bernilai 1. Deret ini dapat dinyatakan ke dalam bentuk notasi Sigma, yakni sebagai:$${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1.}$$Deret ini mempunyai kaitan dengan pertanyaan filosofis pada zaman kuno, khususnya paradoks Zeno.

Bukti

Seperti semua deret tak hingga, jumlah dari

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }$

didefinisikan sebagai limit dari jumlah parsial dari suku n yang pertama

${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}}$

ketika n menuju ke tak hingga. Dengan menggunakan berbagai argumen,[a] jumlah deret terhingga akan sama dengan

${\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.}$

Ketika n menuju ke tak hingga, bentuk ekspresi ${\textstyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ menuju ke 0, dan demikian s_n menuju ke 1.

Sejarah

Deret ini digunakan sebagai salah satu representasi dari paradoks Zeno.[1] Bagian dari Mata Horus pernah dianggap untuk merepresentasikan enam penjumlahan pertama dari deret ini.[2]

Lihat pula

• 0.999...
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

Catatan

1. Sebagai contoh, dengan mengalikan s_n oleh 2, akan menghasilkan$${\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].}$$ Ketika mengurangi s_n dari kedua ruas, maka dapat disimpulkan bahwa ${\textstyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.}$ Ada beberapa argumen yang menggunakan induksi matematika, atau menambahkan ${\textstyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ pada kedua ruas dari persamaan $${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}}$$ hingga memanipulasi agar memperlihatkan bahwa hasil jumlah pada ruas kanan sama dengan 1.^[butuh rujukan]

Referensi

1. Wachsmuth, Bet G. "Description of Zeno's paradoxes". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-12-31. Diakses tanggal 2014-12-29. 
2. Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. hlm. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6.