20 «вільних» тетраронів — тривимірних поліформ, утворених з'єднанням 4 ромбододекаедрів[1][2]. Кількість «односторонніх» тетраронів дорівнює 28, через те, що 8 з 20 «вільних» тетраронів не можуть бути суміщені зі своїми дзеркальними копіями паралельним переносом і обертанням[3][4]
Поліфо́рма — плоска або просторова геометрична фігура, утворена шляхом об'єднання однакових комірок — многокутників або багатогранників. Зазвичай комірка являє собою опуклий многокутник, здатний замостити площину — наприклад, квадрат або правильний трикутник. Деякі види поліформ мають свої назви; наприклад, поліамант — поліформа, яка складається з рівносторонніх трикутників[5].
Поліформа, що складається з n комірок, може позначатися як n-форма. Для вказаного числа комірок в фігурі використовуються стандартні грецькі і латинські префікси моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7]
Правила з'єднання
Правила з'єднання комірок можуть бути різними и повинні бути вказаними в конкретному випадку. Зазвичай розуміються наступні правила:
комірки поліформи не повинні перекриватися.
Дві сусідні многокутні комірки повинні мати спільне ребро або спільну площину (у просторі).
Якщо допустити, що сусідні комірки можуть мати лише спільний кут (на площині) або спільне ребро або вершину (у просторі), то поліформа називається псевдополіформою (англ.pseudopolyform, pseudo-n-form)[7].
Поліформа, що складається з довільних не зв'язаних між собою комірок на площині або в просторі, називається квазіполіформою (англ.quasipolyform, quasi-n-form)[7].
Симетрії
Фігури для гри
В залежності від того, чи дозволені обертання і дзеркальні відображення, розрізняються наступні типи поліформ[7][10]:
вільна (англ.free) або двостороння (англ.two-sided) поліформа — фігура, яку дозволено обертати і дзеркально відображати;
одностороння (англ.one-sided) поліформа — плоска фігура, яку дозволено лише обертати в площині, але не можна перевертати;
фіксована (англ.fixed) поліформа — фігура, яку не дозволено ні дзеркально відображати, ні обертати.
Види та застосування поліформ
Поліформи можуть використовуватися в іграх, головоломках, моделях. Однією з основних комбінаторних проблем, пов'язаною з поліформами, є перелік поліформ заданого виду. Іншою задачею є вкладання фігур із заданого набору (часто це всілякі поліформи певного виду, наприклад, 12 пентаміно) в задану область (у випадку пентаміно це можебути прямокутник 6×10).
5 тетраміно на квадратному паркеті порядка 5[19], зображених на диску Пуанкаре. «Евклідове» квадратне тетраміно 2×2 перетворюється в «гіперболічне» п'ятикутне пентаміно з видаленим квадратом; структура чотирьох інших тетраміно залишається незмінною[20]
На гіперболічній площині існує нескінченна множина правильних паркетів, кожному з котрих відповідає щонайменше один тип поліформ. На паркетах, в кожній вершині котрих сходяться три многокутники, існує один тип поліформ — об'єднання многокутників, з'єднаних сторонами. На паркетах з чотирма та більше многокутниками, що сходяться у вершині, можна розглянути також аналоги псевдополіміно — фігури, що утворюються при з'єднанні вершин многокутників.
Відомості про кількість «гіперболічних» поліформ і складання з них фігур невеликі[21][20]. Так, на квадратному паркеті порядку 5[19] існує 1 мономіно, 1 доміно, 2 триміно (вони збігаються з «евклідовими» мономіно, доміно і триміно), 5 тетраміно[20]. На правильному семикутному паркеті порядку 3[22] існує 10 тетрагептів — фігур, що складаються з чотирьох зв'язаних семикутників[21], причому 7 з цих 10 тетрагептів можна вкласти на евклідовій площині без перекриття семикутників[23].
↑OEISA038172 [Архівовано 5 квітня 2015 у Wayback Machine.] Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice
↑OEISA038173 [Архівовано 5 квітня 2015 у Wayback Machine.] Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice and reflections
