Поліамант

Поліамант[1] (англ. polyiamond)[2][3] або трикутний звір (англ. triangular animal)[4][5][6] — геометрична фігура у вигляді багатокутника, складеного з декількох однакових рівносторонніх трикутників, що прилягають один до одного сторонами. Поліаманти можна розглядати як скінченні підмножини трикутного паркету зі зв'язною внутрішністю.

Нарівні з поліміно, поліаманти поширені в цікавій математиці, зокрема в задачах на складання фігур[7][8][9] та на замощення площини[10].

Кількість

Одним з основних питань є питання про кількість поліамантів, які можна скласти з даного числа трикутників. Як і у випадку поліміно, розрізняють «вільні» («двобічні») поліаманти, для яких повороти і відбиття не вважаються різними формами; «однобічні», коли дзеркальні фігури вважаються різними, і «фіксовані», що розрізняються також і під час поворотів.

У таблиці наведено число n-амантів різних типів аж до n = 12.

n	поліаманти					псевдополіаманти[11][12]
	двосторонні			односторонні	фіксовані	двосторонні
	всі	з отворами	без отворів
	A000577	A070764	A070765	A006534	A001420	(немає)
1	1	0	1	1	2	1
2	1	0	1	1	3	3
3	1	0	1	1	6	11
4	3	0	3	4	14	75
5	4	0	4	6	36	-
6	12	0	12	19	94	-
7	24	0	24	43	250	40 609[12]
8	66	0	66	120	675	-
9	160	1	159	307	1838	-
10	448	4	444	866	5053	-
11	1186	25	1161	2336	14 016	-
12	3334	108	3226	6588	39 169	-

Інші послідовності OEIS, пов'язані з поліамантами:

• Послідовність A096361 в OEIS: площа (в трикутниках), яку покривають всі n-аманти;
• Послідовність A030223 в OEIS: число n-амантів з дзеркальною симетрією;
• Послідовність A030224 в OEIS: число n-амантів без дзеркальної симетрії.

Приклади

Назва	Кількість фігур	Фігури
Моніамант (мономант)	1
Діамант	2
Триамант	3
Тетриамант	4
Пентиамант	5
Гексиамант	6	«Смуга» (bar)[2][5] «Палиця» (crook) «Корона» (crown) «Сфінкс» (sphinx) «Змія» (snake) «Яхта» (yacht) «Погон» (chevron) «Вказівник» (signpost) «Рак» (lobster) «Гак» (hook) «Шестикутник» (hexagon) «Метелик» (butterfly)

Термінологія

Френк Харарі у своїх публікаціях називав n-міно «n-клітинними тваринами». В статті «Шахові дошки і поліміно» в журналі American Mathematical Monthly Соломон Ґоломб запропонував використовувати трикутне або шестикутне замощення замість квадратного, ввівши для позначення відповідних поліформ терміни «трикутні звірі» та «шестикутні звірі»[5].

Термін «поліамант» вигадав математик Томас О’Берн із Глазго, пов'язавши слово «поліміно» і одну з англійських назв ромба — діамант (англ. diamond). Оскільки діамант можна скласти з двох рівносторонніх трикутників, то фігуру з трьох рівносторонніх трикутників О'Берн назвав триамантом, з чотирьох — тетриамантом і т. д. О'Берн також вигадав більшість назв гексиамантів[3][4][5] (див. табл.).

Див. також

• Мозаїка «Сфінкс»

Примітки

1. Переклад назви в словниках
2. Weisstein, Eric W. Поліамант(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
3. Гарднер М. Математические новеллы / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинского. — М : Мир, 1974. — С. 20 — 31.
4. Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975. — С. 143 — 147. — 207 с.
5. Golomb, S.W. Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings : [англ.]. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1994. — С. 90 — 93.
6. George E. Martin. Polyominoes: a guide to puzzles and problems in tiling : [англ.]. — MAA, 1996. — ISBN 0-88385-501-1. The Animals.
7. Polyiamonds. The Poly Pages.
8. David Goodger. An Introduction to Polyiamonds.
9. David Goodger. Polyiamonds: Puzzles & Solutions.
10. Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds. Journal of Computational and Applied Mathematics.
11. Col. George Sicherman. Galvagni Figures for Polymings. Polyform Curiosities.
12. Peter Esser (25 листопада 2010). Pseudo Polyiamonds. Yahoo Groups.

Посилання

• Журавлёв В.М. Горизонтально-выпуклые полиамонды и их производящие функции // Математическое просвещение. — 2013. — Вип. 17 (26 січня). — С. 107—129.(рос.)
• Треугольные и шестиугольные «монстры», Бібліотека з математики (рос.)