Ortogonalmatris

En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris vars rader och kolonner är ortogonala enhetsvektorer.

En matris Q är ortogonal om dess transponat är lika med dess invers:

${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1}\,}$

vilket medför att

${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I\,}$

där I är enhetsmatrisen.

Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att bestämma stabilitet inom numerisk linjär algebra.

Exempel

Exempel på ortogonala matriser är:

• Alla enhetsmatriser.
• Alla permutationsmatriser.

Egenskaper

En reell kvadratisk matris av storlek ${\displaystyle n}$ är ortogonal om och endast om dess kolumner bildar en ortonormerad bas för ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ med den vanliga skalärprodukten införd. Om kolumnerna endast är ortogonala och inte normerade uppfyller matrisen ${\displaystyle A^{T}A=D}$ för någon diagonalmatris ${\displaystyle D}$ istället.

Determinanten till en ortogonal matris ${\displaystyle A}$ är 1 eller -1:

${\displaystyle 1=\det I=\det(A^{T}A)=\det A^{T}\det A=\det A^{2}=(\det A)^{2}\,}$

${\displaystyle 1=(\det A)^{2}\Leftrightarrow \det A=\pm 1}$

Det omvända gäller dock inte; en matris med determinanten 1 är inte nödvändigtvis ortogonal.

En linjär avbildning som har en ortogonalmatris i en ON-bas är också en isometri. Vid basbyte mellan två ändliga ON-baser är basbytesmatrisen en ortogonalmatris, vilket gör att diagonalisering av vissa matriser blir väldigt enkelt, se spektralsatsen.

Ortogonalmatriser används vid ett antal matrisfaktoriseringar, exempelvis QR-faktorisering, polärfaktorisering och singulärvärdesfaktorisering.

Konstruktion

De enklaste ortogonala matriserna är ${\displaystyle [1]}$ och ${\displaystyle [-1]}$.

Ortogonala 2×2-matriser kan konstrueras med ett antal ekvationer. Vi utgår från matrisen

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

Kolonnerna skall vara ortogonala och varje kolonns skalärprodukt med sig själv skall vara 1. Detta ger ekvationerna

${\displaystyle 1=a^{2}+c^{2}\,\!,}$

${\displaystyle 1=b^{2}+d^{2}\,\!,}$

${\displaystyle 0=ab+cd\,\!.}$

De två första ekvationerna är ekvationen för en cirkel och med

${\displaystyle a=\cos \theta ,\quad c=\sin \theta }$

får vi två möjliga lösningar

${\displaystyle b=-\sin \theta ,\quad d=\cos \theta }$

eller

${\displaystyle b=\sin \theta ,\quad d=-\cos \theta }$.

Detta ger

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$, en rotationsmatris, och

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}}$, en reflektionsmatris.

Se även

• Unitär matris
• Euklidiskt rum