Polärfaktorisering

Polärfaktorisering är inom linjär algebra en matrisfaktorisering som är analog till polärfaktorseringen av ett komplext tal, ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, där r är absolutbeloppet av z och ${\displaystyle \theta }$ är z:s argument.

Definition och beräkning

Givet en matris A kan den faktoriseras på formen:

${\displaystyle A=UP\,}$

som kallas högerpolärfaktorisering. A kan även faktoriseras som:

${\displaystyle A=P'U\,}$

som kallas vänsterpolärfaktorisering eller omvänd polärfaktorisering.

U är en unitär matris som är gemensam för båda faktoriseringarna. P och ${\displaystyle P'}$ är positivt semidefinita hermiteska matriser. Faktoriseringarna existerar alltid och är unika så länge A är inverterbar och P väljs att vara positivt definit.

Matriserna P och ${\displaystyle P'}$ ges av:

${\displaystyle P={\sqrt {A^{*}A}}}$

${\displaystyle P'={\sqrt {AA^{*}}}}$

där ${\displaystyle A^{*}}$ är det hermiteska konjugatet till A. Uttrycken är väldefinierade då ${\displaystyle A^{*}A}$ och ${\displaystyle AA^{*}}$ är positivt definita hermiteska matriser, så att det existerar en unik kvadratrot.

Matrisen U ges sedan alltid av:

${\displaystyle U=AP^{-1}=P'^{-1}A\,}$

Beräkning via singulärvärdesfaktorisering

Om A är singulärvärdesfaktoriserad, ${\displaystyle A=W\Sigma V^{*}}$, ges matriserna i polärfaktoriseringarna av:

${\displaystyle U=WV^{*}}$

${\displaystyle P=V\Sigma V^{*}}$

${\displaystyle P'=W\Sigma W^{*}}$