Unitär matris

En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga

${\displaystyle UU^{H}=U^{H}U=I\,}$

där I är enhetsmatrisen och ${\displaystyle U^{H}}$ är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element).

En komplexvärd kvadratisk matris

Misslyckades med att tolka formel. Se "Wikipedia:Matematiska uttryck" för information om hur formler skrivs. (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "http://localhost:6011/sv.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle U = \begin{pmatrix} u_{11} & \cdots & u_{1n}\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ u_{n1} & \cdots & u_{nn} \end{pmatrix}}

är således unitär om dess invers ges av

${\displaystyle U^{-1}={\begin{pmatrix}{\overline {u_{11}}}&\cdots &{\overline {u_{n1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {u_{1n}}}&\cdots &{\overline {u_{nn}}}\end{pmatrix}},}$

där ${\displaystyle {\overline {u_{kl}}}}$ betecknar komplexkonjugatet av det komplexa talet ${\displaystyle u_{kl}}$, det vill säga om

${\displaystyle u_{kl}=a_{kl}+ib_{kl}\,}$

där ${\displaystyle a_{kl}}$ och ${\displaystyle b_{kl}}$ är reella tal, är

${\displaystyle {\overline {u_{kl}}}=a_{kl}-ib_{kl}.}$

Exempel

Matrisen

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

är unitär, eftersom

${\displaystyle U\,U^{H}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$

Egenskaper

För en unitär matris U gäller

• Egenvärdena till U har absolutbeloppet 1

• För två komplexa vektorer x och y, bevaras vektorernas inre produkt (skalärprodukt) vid multiplikation med U, det vill säga

${\displaystyle \langle Ux,\ Uy\rangle =\langle x,\ y\rangle }$

• U är en normal matris

• U är diagonaliserbar

• ${\displaystyle |\det U|=1}$