Notera att denna definition för komplexa vektorrum innebär att den inre produkten är linjär i första variabeln, men antilinjär i den andra. Detta kallas ofta seskvilinjäritet. Detta är enbart en konvention, den inre produkten kan även definieras så att det omvända gäller. Oftast brukar man i matematiska sammanhang kräva linjäritet i första variabeln, medan man inom kvantfysik ofta vill ha linjäriteten i den andra variabeln.
Om sägs x och y vara ortogonala (vinkelräta). Detta betecknas ofta som .
Exempel
Reella rum
I det ändligtdimensionella rummet bestående av alla reella -tupler kan skalärprodukten införas som inre produkt, så om är element i :
där är en positivt definitmatris. Detta gäller även för reella rum, då det hermiteska konjugatet blir transponat.
Funktionsrum
Det oändlighetsdimensionella (det vill säga, har ej någon ändlig bas) funktionsrummet av alla reella funktioner som är kontinuerliga på intervallet har en inre produkt:
då .
Med hjälp av inre produkten kan normen av f definieras:
Normen kan ses som en slags längd av f och
kan kallas avståndet mellan "punkterna" f och g.
Egenskaper
Det är lätt att visa att funktionen sådan att är en norm på V. Om är fullständig med avseende på metriken som ges av denna norm, kallas för ett Hilbertrum.
För ett inre produktrum gäller de välkända satserna
En bas för ett inre produktrum sägs vara en ortonormal bas (eller ON-bas; även termen ortogonal bas kan förekomma i denna mening) om det för alla element i basen gäller att om och för alla i. Givet en bas för ett ändligtdimensionellt inre produktrum kan en ortonormal bas fås genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.